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正确率60.0%已知非零向量$$\textit{a， b， c}$$共面，那么“存在实数$${{λ}{，}}$$使得$${{a}{=}{λ}{c}}$$”是“$$( \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} ) \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} ( \boldsymbol{b} \cdot\boldsymbol{c} )$$”的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['共面向量定理'， '充分、必要条件的判定'， '空间向量的数量积'， '空间向量共线定理']正确率40.0%下列说法正确的是（）
B
A.$$| \boldsymbol{a} |-| \boldsymbol{b} | < | \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |$$是向量$${{a}{，}{b}}$$不共线的充要条件
B.在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{B D}=0$$
C.在棱长为$${{1}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=\frac{1} {2}$$
D.设$$A， ~ B， ~ C$$三点不共线$${，{O}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$外一点，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}，$$则$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面
3、['共面向量定理'， '平面向量的概念']正确率80.0%若向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$不共线且$$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$，$${{p}^{→}{=}{{a}^{→}}}$$，则$${{(}{)}}$$
A.$${{m}^{→}}$$，$${{n}^{→}}$$，$${{p}^{→}}$$共线
B.$${{m}^{→}}$$与$${{p}^{→}}$$共线
C.$${{n}^{→}}$$与$${{p}^{→}}$$共线
D.$${{m}^{→}}$$，$${{n}^{→}}$$，$${{p}^{→}}$$共面
4、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用']正确率0.0%已知非零向量$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$不共线，如果$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}， \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{e_{1}}+8 \overrightarrow{e_{2}}， \overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{e_{1}}-3 \overrightarrow{e_{2}}$$，则$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$，$${{D}}$$四点$${{(}{)}}$$
A.一定共线
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
5、['共面向量定理'， '平面向量的概念']正确率80.0%设$${{e}^{→}_{1}}$$，$${{e}^{→}_{2}}$$是空间中两个不共线的向量，已知$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{e}_{1}+k \overrightarrow{e}_{2}$$，$$\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{e}_{1}+3 \overrightarrow{e}_{2}$$，$$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{e}_{1}-\overrightarrow{e}_{2}$$，且$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{D}}$$三点共线，则$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{8}}$$
D.$${{8}}$$
6、['共面向量定理']正确率80.0%已知空间四点$$A ( 1， 2，-1 )$$，$$B ( 2，-1， 1 )$$，$$C (-3， 1，-1 )$$，$$D ( m， 0， 1 )$$共面，则$${{m}{=}{(}{)}}$$
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
7、['共面向量定理']正确率80.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 2 )$$，$$\vec{b}=(-1， 3，-3 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 1 3， 6， \lambda)$$，若向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$共面，则$${{λ}{=}{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
8、['共面向量定理']正确率60.0%已知$$A. ~ B. ~ C$$三点不共线，对平面$${{A}{B}{C}}$$外一点$${{O}}$$，给出下列表达式：$$\oplus\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}$$$$\ ) \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$$$$\oplus\ \overrightarrow{O M}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} \oplus\overrightarrow{O M}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$， 其中能推出$$M. ~ A. ~ B. ~ C$$四点共面的是（）
D
A.$${②{④}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${①{②}}$$
D.$${①{④}}$$
9、['共面向量定理']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， x^{2}， 2 )$$，$$\vec{b}=( 0， 1， 2 )$$，$$\overrightarrow{c}=\left( 1， 0， 0 \right)$$，若$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$共面，则$${{x}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$或$${{0}}$$
10、['共面向量定理'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%设平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{a}=( x， 1，-2 )$$，平面$${{β}}$$的法向量为$$\overrightarrow{b}=( 1， x， x-3 )$$，若$${{α}{/}{/}{β}}$$，则$${{x}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{5}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{7}}$$
1. 题目解析：
首先分析条件 $$( \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} ) \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} ( \boldsymbol{b} \cdot\boldsymbol{c} )$$，可以将其改写为 $$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$$。这意味着向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{c}$$ 线性相关，即存在实数 $$\lambda$$ 使得 $$\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{c}$$。因此，条件是充要的。
答案：$$C$$
2. 题目解析：
A选项：$$| \boldsymbol{a} |-| \boldsymbol{b} | < | \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |$$ 是向量不共线的充分条件，但不是必要条件（例如反向不共线时不等式不成立）。
B选项：在空间四边形中，利用向量运算可以验证等式成立。
C选项：正四面体中 $$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C} = -\frac{1}{2}$$，与题目不符。
D选项：$$\overrightarrow{O P}$$ 的系数和不等于1，故 $$P$$ 不在平面 $$ABC$$ 内。
答案：$$B$$
3. 题目解析：
由于 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 不共线，$$\boldsymbol{m}$$、$$\boldsymbol{n}$$、$$\boldsymbol{p}$$ 可以表示为 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 的线性组合，故它们共面。
答案：$$D$$
4. 题目解析：
计算向量 $$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AC}$$、$$\overrightarrow{AD}$$ 的行列式：
$$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 8 \\ 3 & -3\end{vmatrix}$$ 的第三列由 $$\overrightarrow{AD}$$ 决定，计算发现行列式为0，故四点共面。
答案：$$C$$
5. 题目解析：
由 $$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{CB}$$、$$\overrightarrow{CD}$$ 可得 $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = (3, k-4)$$。由于 $$A$$、$$B$$、$$D$$ 共线，存在 $$\lambda$$ 使得 $$\overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB}$$，解得 $$k = 8$$。
答案：$$D$$
6. 题目解析：
计算向量 $$\overrightarrow{AB} = (1, -3, 2)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-4, -1, 0)$$，$$\overrightarrow{AD} = (m-1, -2, 2)$$。四点共面时行列式为0：
$$\begin{vmatrix}1 & -3 & 2 \\ -4 & -1 & 0 \\ m-1 & -2 & 2\end{vmatrix} = 0$$，解得 $$m = 4$$。
答案：$$C$$
7. 题目解析：
向量共面时行列式为0：
$$\begin{vmatrix}2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & -3 \\ 13 & 6 & \lambda\end{vmatrix} = 0$$，解得 $$\lambda = 6$$。
答案：$$D$$
8. 题目解析：
四点共面的条件是 $$\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$$ 且 $$x + y + z = 1$$。只有选项②和④满足。
答案：$$A$$
9. 题目解析：
向量共面时行列式为0：
$$\begin{vmatrix}1 & x^2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix} = 0$$，解得 $$x = \pm 1$$。
答案：$$C$$
10. 题目解析：
平面平行时法向量成比例：$$\frac{x}{1} = \frac{1}{x} = \frac{-2}{x-3}$$，解得 $$x = 1$$ 或 $$x = -3$$。验证 $$x = 1$$ 不满足，故 $$x = -3$$。
答案：$$B$$