正确率40.0%已知点$${{D}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$确定的平面内$${,{O}}$$是平面$${{A}{B}{C}}$$外任意一点,且满足$$\overrightarrow{O D}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ( x, \, \, y \in R ).$$则$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}}$$的最小值为()
D
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
2、['空间向量基本定理的应用']正确率60.0%svg异常
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1 1} {1 2}$$
C.$$\frac{1 1} {6}$$
D.$${{2}}$$
3、['共面向量定理', '空间向量基本定理的应用', '空间向量的线性运算']正确率40.0%svg异常
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{9} {2}$$
4、['用空间向量研究点到直线的距离', '空间向量基本定理的应用', '用空间向量研究两条直线所成的角', '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%svg异常
A
A. 点 $${{C}_{1}}$$ 到直线 $${{C}{Q}}$$ 的距离是$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\overrightarrow{C Q}=-2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}+2 \overrightarrow{A A_{1}}$$
C.平面$${{E}{C}{G}}$$与平面$${{B}{{C}_{1}}{D}}$$的夹角余弦值为$$\frac{1} {3}$$
D.异面直线$${{C}{Q}}$$与$${{B}{D}}$$所成角的正切值为$${\sqrt {{1}{7}}}$$
5、['空间向量基本定理的应用', '空间向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
C
A.$$\frac{1} {3} a+\frac{1} {3} b+\frac{1} {3} c$$
B.$$\frac1 3 a+\frac1 3 b+\frac1 6 c$$
C.$$\frac{1} {6} a+\frac{1} {3} b+\frac{1} {3} c$$
D.$$\frac{1} {6} a+\frac{1} {6} b+\frac{1} {3} c$$
6、['空间向量基本定理的应用']正确率60.0%已知空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中$$\cdot\ \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{c},$$点$${{M}}$$在$${{O}{A}}$$上,且$$O M=2 M A, \, \, N$$为$${{B}{C}}$$的中点,则$$\overrightarrow{M N}$$等于()
B
A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}-\frac{2} {3} \overrightarrow{b}+\frac{1} {2} \overrightarrow{c}$$
B.$$- \frac{2} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}+\frac{1} {2} \overrightarrow{c}$$
C.$$\frac1 2 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac1 2 \overrightarrow{c}$$
D.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{a}+\frac{2} {3} \overrightarrow{b}-\frac{1} {2} \overrightarrow{c}$$
7、['空间向量基本定理的应用', '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直', '空间向量的线性运算']正确率40.0%设向量$$\to, ~ \to, ~ \to$$是空间基底,$$x, ~ y, ~ z \in R$$,有下面四个命题:
$${{p}_{1}}$$:若$$x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+z \overrightarrow{c}=0$$,那么$$x=y=z=0$$;
$${{p}_{2}}$$:若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{l}=0, \ \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{l}=0.$$则$$\overrightarrow{l} / / \overrightarrow{c} ;$$
$$p_{3} \colon\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}, \ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$也是空间基底;
$${{p}_{4}}$$:若$$\overrightarrow{n_{1}}=x_{1} \overrightarrow{a}+y_{1} \overrightarrow{b}+z_{1} \overrightarrow{c}, \ \overrightarrow{n_{2}}=x_{2} \overrightarrow{a}+y_{2} \overrightarrow{b}+z_{2} \overrightarrow{c}.$$则$$\overrightarrow{n_{1}} \perp\overrightarrow{n_{2}} \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=0.$$
其中真命题为()
A
A.$${{p}_{1}{,}{{p}_{3}}}$$
B.$${{p}_{1}{,}{{p}_{4}}}$$
C.$${{p}_{2}{,}{{p}_{3}}}$$
D.$${{p}_{2}{,}{{p}_{4}}}$$
8、['空间向量基本定理的应用', '空间向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
B
A.$$x=\frac{1} {2}, \ y=-\frac{1} {2}$$
B.$$x=-\frac{1} {2}, \, \, y=\frac{1} {2}$$
C.$$x=\frac{1} {2}, \ y=\frac{1} {2}$$
D.$$x=-\frac{1} {2}, \, \, y=-\frac{1} {2}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直', '空间向量基本定理的应用']正确率60.0%已知两个向量$$\begin{aligned} {\overrightarrow{\mathrm{a}}=( \mathrm{2,-1, 3} ), \overrightarrow{\mathrm{b}}=( \mathrm{4, m, n} )} \\ \end{aligned}$$,且$${{a}^{→}{{/}{/}}{{b}^{→}}}$$,则$${{m}{+}{n}}$$的值为
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
10、['空间向量基本定理的应用']正确率40.0%已知$$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \}$$是空间向量的一个基底,$$\{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \}$$是空间向量的另一个基底,若向量$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \}$$下的坐标为$$( 4, 2, 3 )$$,则向量$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \}$$下的坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 4, 0, 3 )$$
B.$$( 1, 2, 3 )$$
C.$$( 3, 1, 3 )$$
D.$$( 2, 1, 3 )$$
1. 由于点 $$D$$ 在 $$△ABC$$ 确定的平面内,根据平面向量基本定理,存在实数 $$x$$ 和 $$y$$ 使得 $$\overrightarrow{OD} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + (1 - x - y) \overrightarrow{OC}$$。题目给出 $$\overrightarrow{OD} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$,对比可得 $$1 - x - y = -1$$,即 $$x + y = 2$$。
要求 $$x^2 + y^2$$ 的最小值,利用不等式 $$x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$,当且仅当 $$x = y = 1$$ 时取等。但选项中没有 $$2$$,检查题目条件是否有误,若题目为 $$\overrightarrow{OD} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC}$$ 且 $$x + y + z = 1$$,则重新推导。
若题目无误,则最小值为 $$2$$,对应选项 D。
6. 点 $$M$$ 在 $$OA$$ 上且 $$OM = 2MA$$,故 $$\overrightarrow{OM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a}$$。点 $$N$$ 为 $$BC$$ 的中点,故 $$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$$。
因此,$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) - \frac{2}{3} \overrightarrow{a}$$,即 $$\overrightarrow{MN} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}$$,对应选项 B。
7. 分析各命题:
$$p_1$$:若 $$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$$ 是基底,则 $$x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c} = 0$$ 当且仅当 $$x = y = z = 0$$,故 $$p_1$$ 正确。
$$p_2$$:$$\overrightarrow{l}$$ 与 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 均垂直,但不一定平行于 $$\overrightarrow{c}$$(除非 $$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$$ 是正交基底),故 $$p_2$$ 错误。
$$p_3$$:通过行列式判断三个向量是否线性无关,若行列式不为零则是基底。计算行列式:
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 1) - 1(1 - 1) + (-1)(1 + 1) = -4 \neq 0$$,故 $$p_3$$ 正确。
$$p_4$$:向量垂直的条件是点积为零,但需基底正交时才满足 $$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$,故 $$p_4$$ 不一定正确。
综上,真命题为 $$p_1$$ 和 $$p_3$$,对应选项 A。
9. 向量 $$\overrightarrow{a} = (2, -1, 3)$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (4, m, n)$$ 平行,故存在标量 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$$,即 $$4 = 2k$$,$$m = -k$$,$$n = 3k$$。
解得 $$k = 2$$,$$m = -2$$,$$n = 6$$,因此 $$m + n = 4$$,对应选项 C。
10. 向量 $$\overrightarrow{p}$$ 在基底 $$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$$ 下的坐标为 $$(4, 2, 3)$$,即 $$\overrightarrow{p} = 4 \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b} + 3 \overrightarrow{c}$$。
要求在基底 $$\{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$$ 下的坐标,设 $$\overrightarrow{p} = x (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + y (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) + z \overrightarrow{c}$$,展开得:
$$4 \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b} + 3 \overrightarrow{c} = (x + y) \overrightarrow{a} + (x - y) \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c}$$。
对比系数得:
$$x + y = 4$$,$$x - y = 2$$,$$z = 3$$。
解得 $$x = 3$$,$$y = 1$$,$$z = 3$$,故坐标为 $$(3, 1, 3)$$,对应选项 C。