空间向量的线性运算-空间向量及其运算知识点教师选题基础选择题自测题解析-河北省等高一数学选择必修,平均正确率78.0%

正确率60.0%在空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中，$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{c}$$，则$$\overrightarrow{O G}$$等于（）

A

A. $$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {3} \overrightarrow{b}+\frac{1} {3} \overrightarrow{c}$$

B. $$\frac1 2 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}+\frac1 2 \overrightarrow{c}$$

C. $${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}}$$

D. $${{3}{{a}^{→}}{+}{3}{{b}^{→}}{+}{3}{{c}^{→}}}$$

正确率80.0%空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{c}$$，点$${{P}}$$为$${{A}{B}}$$中点，点$${{Q}}$$为$${{C}{D}}$$靠近$${{D}}$$的三等分点，则$$\overrightarrow{P Q}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}+\frac{1} {3} \overrightarrow{b}+\frac{2} {3} \overrightarrow{c}$$

B.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}-\frac{1} {3} \overrightarrow{b}+\frac{2} {3} \overrightarrow{c}$$

C.$$- \frac1 2 \overrightarrow{a}-\frac1 3 \overrightarrow{b}+\frac2 3 \overrightarrow{c}$$

D.$$- \frac1 2 \overrightarrow{a}+\frac1 3 \overrightarrow{b}+\frac2 3 \overrightarrow{c}$$

正确率60.0%在三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$中$$， \， \， \angle P A B=\angle A B C={\frac{\pi} {3}}，$$$$\langle\overrightarrow{P A}， \ \overrightarrow{B C} \rangle$$$$= {\frac{2 \pi} {3}}， \， \， \， P A=2， \， \， \， A B=1， \， \， \， B C=3，$$则$${{P}{C}{=}}$$（）

C

A.$${\sqrt {7}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{1}}$$

正确率80.0%对于空间中的任意三个向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{2}{{a}^{→}}{+}{4}{{b}^{→}}}$$，它们一定是$${{(}{)}}$$

A.共面向量

B.共线向量

C.不共面向量

D.既不共线也不共面的向量

正确率40.0%空间$${{A}{、}{B}{、}{C}{、}{D}}$$四点共面，但任意三点不共线，若$${{P}}$$为该平面外一点且$$\overrightarrow{P A}=\frac{5} {3} \overrightarrow{P B}-x \overrightarrow{P C}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A D}$$，则实数$${{x}}$$的值为（）

C

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{1} {3}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$- \frac2 3$$

正确率80.0%已知三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中，$${{E}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A E}-\frac{1} {2} ( \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D} )=( \textit{} )$$

A.$$\overrightarrow{B D}$$

B.$$\overrightarrow{D B}$$

C.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{B D}$$

D.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{D B}$$

正确率80.0%空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{c}$$，点$${{M}}$$在线段$${{A}{C}}$$上，且$${{A}{M}{=}{2}{M}{C}}$$，点$${{N}}$$是$${{O}{B}}$$的中点，则$$\overrightarrow{M N}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

C

A.$$\frac2 3 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac2 3 \overrightarrow{c}$$

B.$$\frac2 3 \overrightarrow{a}-\frac1 2 \overrightarrow{b}+\frac2 3 \overrightarrow{c}$$

C.$$- \frac1 3 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac2 3 \overrightarrow{c}$$

D.$$\frac1 3 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac1 3 \overrightarrow{c}$$

1. 解析：重心$$G$$将中线分为$$2:1$$的比例。因此，$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{c}$$。正确答案为A。

2. 解析：首先确定点$$P$$和$$Q$$的坐标向量。$$\overrightarrow{P} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{Q} = \frac{2}{3} \overrightarrow{c} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b}$$。因此，$$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{P} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{c}$$。正确答案为D。

3. 解析：利用向量点积公式计算$$\overrightarrow{PC}$$的长度。首先计算$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times 3 \times \cos \frac{2\pi}{3} = -3$$。然后利用余弦定理，$$PC^2 = PA^2 + AB^2 + BC^2 - 2PA \cdot AB \cos \frac{\pi}{3} + 2PA \cdot BC \cos \frac{2\pi}{3} = 4 + 1 + 9 - 2 \times 2 \times 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times 2 \times 3 \times (-\frac{1}{2}) = 7$$。因此，$$PC = \sqrt{7}$$。正确答案为A。

4. 解析：向量$$2\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}$$是$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$的线性组合，因此这三个向量共面。正确答案为A。

5. 解析：由于$$A, B, C, D$$四点共面，存在实数$$x$$使得$$\overrightarrow{PA} = \frac{5}{3} \overrightarrow{PB} - x \overrightarrow{PC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AD}$$。通过向量关系推导可得$$x = \frac{2}{3}$$。正确答案为C。

9. 解析：$$\overrightarrow{AE} - \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF}$$（其中$$F$$为$$CD$$的中点）。利用中点公式可得结果为$$\frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$$。正确答案为D。

10. 解析：点$$M$$的坐标为$$\frac{2}{3} \overrightarrow{c} + \frac{1}{3} \overrightarrow{a}$$，点$$N$$的坐标为$$\frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$。因此，$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \frac{2}{3} \overrightarrow{c}$$。正确答案为C。