空间向量共线定理-空间向量及其运算知识点考前基础单选题自测题答案-西藏自治区等高一数学选择必修,平均正确率62.0%

1、['共面向量定理'， '充分、必要条件的判定'， '空间向量的数量积'， '空间向量共线定理']

正确率40.0%下列说法正确的是（）

A.$${{|}{a}{|}{−}{|}{b}{|}{<}{|}{a}{+}{b}{|}}$$是向量$${{a}{，}{b}}$$不共线的充要条件

B.在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{B D}=0$$

C.在棱长为$${{1}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=\frac{1} {2}$$

D.设$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$三点不共线$${，{O}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$外一点，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}，$$则$${{P}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$四点共面

3、['向量的模'， '数量积的性质'， '命题的真假性判断'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%对于向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{，}}$$下列命题正确的是$${{(}{)}}$$

A.若$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}{，}}$$则$$\left| \overrightarrow{a} \right|=0， \left| \overrightarrow{b} \right|=0$$

B. $${{(}{{a}{⃗}}{⋅}{{b}^{⃗}}{)}^{2}{=}{{a}{⃗}^{2}}{⋅}{{b}^{⃗}^{2}}}$$

C.若$$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=1，$$则$${{a}^{→}{=}{±}{{b}^{→}}}$$

D.若$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$是非零向量，且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$$\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|$$

4、['空间向量共线定理']

正确率60.0%已知向量$${{a}{=}{(}{1}{，}{x}{，}{−}{2}{)}{，}{b}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{2}{)}{，}{c}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{0}{)}{，}}$$若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$共面，则$${{x}{=}}$$（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$或$${{0}}$$

5、['空间向量共线定理']

正确率80.0%若$${{a}^{→}{=}{(}{2}{x}{，}{1}{，}{3}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{3}{，}{9}{)}{，}}$$若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$为共线向量，则（）

A.$${{x}{=}{1}}$$

B.$$x=\frac{1} {2}$$

C.$$x=\frac{1} {6}$$

D.$$x=-\frac{1} {6}$$

6、['空间向量共线定理']

正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{3}{)}{，}{{b}^{⃗}}{=}{(}{−}{4}{，}{2}{，}{x}{)}{，}}$$使$${{a}{⃗}{/}{/}{{b}^{⃗}}}$$成立的$${{x}}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{6}}$$

B.$${{6}}$$

C.$$\frac{1 0} {3}$$

D.$$- \frac{1 0} {3}$$

7、['平面向量的概念'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%已知$${{m}^{→}{=}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{，}{{n}^{→}}{=}{2}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{（}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}}$$不共线），则$${{m}^{→}}$$与$${{n}^{→}{（}}$$）

A.共线

B.不共线

C.不共面

D.以上都不对

8、['空间向量的相关概念'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{，}{1}{)}{，}}$$则与向量$${{a}^{→}}$$共线的单位向量可以是（）

A.$${{n}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{，}{1}{)}}$$

B.$$\vec{n}=( \frac{1} {3}， ~ ~-\frac{1} {3}， ~ \frac{1} {3} )$$

C.$$\vec{n}=( \frac{\sqrt{3}} {3}， \ \frac{\sqrt{3}} {3}， \ \frac{\sqrt{3}} {3} )$$

D.$$\overrightarrow{n}=( \frac{\sqrt{3}} {3}， ~-\frac{\sqrt{3}} {3}， ~ \frac{\sqrt{3}} {3} )$$

9、['利用基本不等式求最值'， '空间向量共线定理']

正确率40.0%已知点$${{O}}$$为直线$${{A}{B}}$$外一点，点$${{C}}$$在直线$${{A}{B}}$$上，存在正实数$${{x}{，}{y}}$$使$$\overrightarrow{O C}=( x-1 ) \overrightarrow{O A}+3 y \overrightarrow{O B}，$$则$$\frac{1} {x}+\frac{1} {y}$$的最小值为（）

A.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$

10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{\sqrt {3}}{，}{2}{，}{3}{)}}$$，与其同向的单位向量是（）

A.$$(-\frac{\sqrt{3}} {4}，-\frac{1} {2}，-\frac{3} {4} )$$

B.$$( \frac{\sqrt{3}} {4}， \frac{1} {2}， \frac{3} {4} )$$

C.$$( \frac{\sqrt{3}} {1 6}， \frac{1} {8}， \frac{3} {1 6} )$$

D.$$(-\frac{\sqrt{3}} {1 6}，-\frac{1} {8}，-\frac{3} {1 6} )$$

1. 选项B正确。在空间四边形$$ABCD$$中，向量关系$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$$恒成立，这是空间向量的性质。

3. 选项D正确。若$${\overrightarrow{a}}$$与$${\overrightarrow{b}}$$是非零向量且垂直，则$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2}$$，而$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$也等于同样的值，因此等式成立。

4. 选项A正确。向量$${\overrightarrow{a} = (1, x, -2)}$$、$${\overrightarrow{b} = (0, 1, 2)}$$、$${\overrightarrow{c} = (1, 0, 0)}$$共面，当且仅当它们的行列式为零。计算行列式： $$ \begin{vmatrix} 1 & x & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) - x(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + (-2)(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 2x + 2 = 0 $$ 解得$$x = -1$$。

5. 选项C正确。若$${\overrightarrow{a} = (2x, 1, 3)}$$与$${\overrightarrow{b} = (1, 3, 9)}$$共线，则存在标量$$k$$使得$$2x = k \cdot 1$$，$$1 = k \cdot 3$$，$$3 = k \cdot 9$$。解得$$k = \frac{1}{3}$$，代入得$$x = \frac{1}{6}$$。

6. 选项A正确。向量$${\overrightarrow{a} = (2, -1, 3)}$$与$${\overrightarrow{b} = (-4, 2, x)}$$平行，当且仅当对应分量成比例： $$ \frac{2}{-4} = \frac{-1}{2} = \frac{3}{x} $$ 解得$$x = -6$$。

7. 选项A正确。$${\overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}$$，$${\overrightarrow{n} = 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}$$，显然$${\overrightarrow{n} = 2\overrightarrow{m}}$$，故$${\overrightarrow{m}}$$与$${\overrightarrow{n}}$$共线。

8. 选项D正确。与$${\overrightarrow{a} = (1, -1, 1)}$$共线的单位向量为$${\pm \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}}$$。计算模长： $$ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} $$ 因此单位向量为$${\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$。

9. 选项D正确。由于$$C$$在直线$$AB$$上，有$$(x-1) + 3y = 1$$，即$$x + 3y = 2$$。利用不等式： $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{(1 + 1)^2}{x + y} = \frac{4}{2 - 2y + y} = \frac{4}{2 - y} $$ 当$$y = 2 - \sqrt{3}$$时，取最小值$$4 + 2\sqrt{3}$$。

10. 选项B正确。向量$${\overrightarrow{a} = (\sqrt{3}, 2, 3)}$$的单位向量为$${\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}}$$。计算模长： $$ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 4 + 9} = 4 $$ 因此单位向量为$${\left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right)}$$。

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