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正确率60.0%已知正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{2}}$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C D}=\emptyset$$）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
7、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}^{′}}{{B}^{′}}{{C}^{′}}{{D}^{′}}}$$中$${{，}{{O}_{1}}{，}{{O}_{2}}{，}{{O}_{3}}}$$分别是$${{A}{C}{，}{A}{{B}^{′}}{，}{A}{{D}^{′}}}$$的中点，以$$\{\overrightarrow{A O_{1}}， \overrightarrow{A O_{2}}， \overrightarrow{A O_{3}} \}$$为基底，设$$\overrightarrow{A C^{\prime}}=x \overrightarrow{A O_{1}}+y \overrightarrow{A O_{2}}+z \overrightarrow{A O_{3}}$$，则$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$的值是（）
A
A.$${{x}{=}{y}{=}{z}{=}{1}}$$
B.$$x=y=z=\frac1 2$$
C.$$x=y=z=\frac{\sqrt{2}} {2}$$
D.$${{x}{=}{y}{=}{z}{=}{2}}$$
8、['空间向量的线性运算']正确率60.0%在三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中，$${{E}}$$是$${{C}{D}}$$的中点，且$$\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F E}，$$则$$\overrightarrow{A F}=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A C}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A D}$$
B.$$- \frac{1} {2} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A C}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A D}$$
C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A D}$$
D.$$- \frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A D}$$
9、['空间向量的线性运算']正确率60.0%在平行六面体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D D_{1}}-\overrightarrow{A B}=( \it\nabla)$$
A
A.$$\overrightarrow{B D_{1}}$$
B.$$\overrightarrow{D_{1} B}$$
C.$$\overrightarrow{D B_{1}}$$
D.$$\overrightarrow{B_{1} D}$$
10、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，若$$\overrightarrow{A B}=3 i$$，$$\overrightarrow{A D}=2 j$$，$$\overrightarrow{A A_{1}}=5 k$$，则$$\overrightarrow{A C_{1}}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
C
A.$${{i}^{→}{+}{{j}^{→}}{+}{{k}^{→}}}$$
B.$$\frac{1} {3} \vec{i}+\frac{1} {2} \vec{j}+\frac{1} {5} \vec{k}$$
C.$${{3}{{i}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{+}{5}{{k}^{→}}}$$
D.$${{3}{{i}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{−}{5}{{k}^{→}}}$$
6、解析：
正四面体 $$ABCD$$ 的棱长为 $$2$$，向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{CD}$$ 的夹角为 $$90^\circ$$（因为 $$AB$$ 和 $$CD$$ 是异面直线且互相垂直），所以点积为：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos 90^\circ = 2 \times 2 \times 0 = 0$$
正确答案为 B。
7、解析：
设正方体边长为 $$1$$，建立坐标系，设点 $$A$$ 为原点 $$(0,0,0)$$，则：
$$\overrightarrow{AO_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$$
$$\overrightarrow{AO_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'})$$
$$\overrightarrow{AO_3} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'})$$
向量 $$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$$
将其表示为基底的线性组合：
$$\overrightarrow{AC'} = 2 \overrightarrow{AO_1} + 2 \overrightarrow{AO_2} + 2 \overrightarrow{AO_3}$$
因此 $$x = y = z = 2$$，正确答案为 D。
8、解析：
由题意，点 $$F$$ 将 $$BE$$ 分为 $$2:1$$ 的比例，因此：
$$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BE}$$
因为 $$E$$ 是 $$CD$$ 的中点，所以 $$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD})$$
代入得：
$$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$$
化简后：
$$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD}$$
正确答案为 C。
9、解析：
在平行六面体中，向量运算如下：
$$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BB_1} - \overrightarrow{AB}$$
因为 $$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$$，所以：
$$\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BD_1}$$
正确答案为 A。
10、解析：
长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，向量 $$\overrightarrow{AC_1}$$ 可以表示为：
$$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}$$
正确答案为 C。