.jpg)
正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是平面$${{α}}$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$${{c}^{→}}$$在直线$${{l}}$$上，则$${{“}}$$$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{a}=0$$，且$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{b}=0$$$${{”}}$$是$${{l}{⊥}{α}}$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['空间向量的相关概念']正确率60.0%已知空间中三点$$O ( 0， ~ 0， ~ 0 )， ~ A (-1， ~ 1， ~ 0 )， ~ B ( 0， ~ 2， ~ 1 )，$$在直线$${{O}{A}}$$上有一点$${{H}}$$满足$$B H \perp O A，$$则点$${{H}}$$的坐标为（）
A
A.$$(-1， ~ 1， ~ 0 )$$
B.$$(-1， ~ 0， ~ 0 )$$
C.$$(-1， ~-1， ~ 1 )$$
D.$$( 1， ~ 1， ~ 0 )$$
3、['共面向量定理'， '空间向量的相关概念']正确率40.0%已知$$A ( 2， 1， 3 )$$，$$B ( 1，-2， 2 )$$，$$C (-1， 2，-2 )$$，$$D ( 1， 2， \lambda)$$四点共面，则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{2 6} {5}$$
B.$$- \frac{2 4} {5}$$
C.$$\frac{6} {5}$$
D.$${{−}{5}}$$
4、['空间向量的相关概念']正确率60.0%给出下列说法：
①零向量没有确定的方向；
②空间向量是不能平行移动的；
③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；
④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等.
其中正确的说法是（）
C
A.①②
B.②③
C.①③
D.①③④
5、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$的中心为$${{O}{，}}$$则下列说法中正确的有（）
①$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量；
②$$\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}-\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
③$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}+\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
④$$\overrightarrow{O A}^{\prime}-\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量.
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
6、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间向量的相关概念'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%若直线$${{l}{⊥}}$$平面$${{α}{，}}$$直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{b}^{→}{，}}$$则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 0，-1 )$$
B.$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 1，-2 )$$
C.$$\overrightarrow{a}=( 2， 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-4，-2，-2 )$$
D.$$\overrightarrow{a}=( 1， 3， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， 0，-1 )$$
7、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%一个向量$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{c} \}$$下的坐标为$$( 1， ~ 2， ~ 3 )$$，则$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\vec{a}+\vec{b}， \ \vec{a}-\vec{b}， \ \vec{c} \}$$下的坐标为（）
B
A.$$(-\frac{3} {2}， ~ \frac{1} {2}， ~ 3 )$$
B.$$( \frac{3} {2}， ~-\frac{1} {2}， ~ 3 )$$
C.$$( \frac{1} {2}， ~-\frac{3} {2}， ~ 3 )$$
D.$$(-\frac{1} {2}， ~ \frac{3} {2}， ~ 3 )$$
8、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的相关概念'， '空间向量的数量积']正确率60.0%给出下列命题：
$${①}$$已知$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )+\overrightarrow{c} ( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} )=\overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c} ;$$
$$\oplus\， A. \， \， B， \， \， M， \， \， N$$为空间四点，若$$\overrightarrow{B A}， \， \， \overrightarrow{B M}， \， \， \overrightarrow{B N}$$不构成空间的一个基底，则$$A. \， \， B. \， \， M. \， \， N$$共面；
$${③}$$已知$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$与任何向量不构成空间的一个基底；
$${④}$$已知$$\{\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{c} \}$$是空间的一个基底，则基向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$可以与向量$$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$$构成空间另一个基底．
正确命题个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '空间投影向量与投影数量']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-3， 0 )$$，$$\vec{b}=( 0， 3， 4 )$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影数量为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
B.$$\frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
C.$$\frac{9} {5}$$
D.$$- \frac{9} {5}$$
10、['平面向量的概念'， '空间向量的相关概念']正确率80.0%下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是$${{(}{)}}$$
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若 $${{a}^{→}{≠}{{b}^{→}}}$$ ，则 $$| \overrightarrow{a} | \neq| \overrightarrow{b} |$$ ；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 题目解析：
向量$$\overrightarrow{c}$$与平面$$\alpha$$内的两个不共线向量$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$都垂直，说明$$\overrightarrow{c}$$垂直于平面$$\alpha$$，即直线$$l$$垂直于平面$$\alpha$$。反之，若$$l \perp \alpha$$，则$$\overrightarrow{c}$$与平面内任意向量垂直，自然有$$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 0$$且$$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。因此条件是充要条件。
答案：$$C$$
2. 题目解析：
直线$$OA$$的方向向量为$$\overrightarrow{OA} = (-1, 1, 0)$$。设点$$H$$在$$OA$$上，其坐标可表示为$$H(-t, t, 0)$$，$$t \in \mathbb{R}$$。向量$$\overrightarrow{BH} = (-t, t-2, -1)$$。由$$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{OA}$$，得$$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{OA} = t + (t-2) = 0$$，解得$$t=1$$。因此$$H$$的坐标为$$(-1, 1, 0)$$。
答案：$$A$$
3. 题目解析：
四点共面等价于向量$$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AC}$$、$$\overrightarrow{AD}$$共面，即它们的混合积为零。计算得：
$$\overrightarrow{AB} = (-1, -3, -1)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-3, 1, -5)$$，$$\overrightarrow{AD} = (-1, 1, \lambda-3)$$。
混合积为：
$$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -1 \\ -3 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = -1(1 \cdot (\lambda-3) - (-5) \cdot 1) - (-3)(-3 \cdot (\lambda-3) - (-5) \cdot (-1)) + (-1)(-3 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 0$$
解得$$\lambda = \frac{26}{5}$$。
答案：$$A$$
4. 题目解析：
①零向量方向任意，说法正确；②空间向量可以平行移动，说法错误；③有向线段表示向量，长度与模成正比，说法正确；④向量不相同仅需方向或长度不同，说法错误。
答案：$$C$$
5. 题目解析：
设正方体边长为2，中心$$O$$在原点。分析各向量：
①$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = (1,1,0) + (-1,1,0) = (0,2,0)$$，$$\overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} = (1,-1,1) + (-1,-1,1) = (0,-2,2)$$，不是相反向量；
②$$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = (1,-1,0) - (-1,-1,0) = (2,0,0)$$，$$\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OD'} = (1,1,-1) - (-1,1,-1) = (2,0,0)$$，不是相反向量；
③$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (0,0,0)$$，$$\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = (0,0,0)$$，不是相反向量；
④$$\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OA} = (0,0,-2)$$，$$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC'} = (0,0,2)$$，是相反向量。
只有④正确。
答案：$$A$$
6. 题目解析：
直线$$l$$垂直于平面$$\alpha$$，则$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$平行。检查选项：
$$C$$中$$\overrightarrow{a} = (2,1,1)$$，$$\overrightarrow{b} = (-4,-2,-2)$$，满足$$\overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{a}$$，平行。
答案：$$C$$
7. 题目解析：
$$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}$$。在新基底$$\{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$$下，设$$\overrightarrow{p} = x(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) + y(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) + z\overrightarrow{c}$$，解得$$x = \frac{3}{2}$$，$$y = -\frac{1}{2}$$，$$z = 3$$。
答案：$$B$$
8. 题目解析：
①展开后成立；②若$$\overrightarrow{BA}$$、$$\overrightarrow{BM}$$、$$\overrightarrow{BN}$$不构成基底，则共面，四点共面；③若$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$垂直，仍可与另一向量构成基底；④$$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\}$$可能线性相关，不一定是基底。
正确命题为①②。
答案：$$B$$
9. 题目解析：
投影数量为$$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{-9}{5}$$。
答案：$$D$$
10. 题目解析：
①正确；②方向可能相反，错误；③向量不等仅需方向或长度不同，错误；④向量与起点终点无关，错误。
答案：$$B$$