2、['空间向量的数量积']正确率80.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=(-1， m， 2 )$$，$$\vec{b}=(-1， 2，-1 )$$，若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-3$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
4、['二面角'， '空间向量的数量积'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率40.0%把边长为$${{1}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{B}{D}}$$折成直二面角，若点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D}，$$则$$\left| \overrightarrow{B P} \right|^{2}=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$$3+\frac{\sqrt6} {2}$$
6、['空间向量的数量积']正确率80.0%正四面体$$P-A B C$$的棱长为$${{2}}$$，点$${{D}}$$是$${{△}{P}{A}{B}}$$的重心，则$$\overrightarrow{P D} \cdot\overrightarrow{B C}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac2 3$$
7、['空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '空间投影向量与投影数量']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-3， 0 )$$，$$\vec{b}=( 0， 3， 4 )$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影数量为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
B.$$\frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
C.$$\frac{9} {5}$$
D.$$- \frac{9} {5}$$
9、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%已知$$A ( 2，-5， 1 )$$，$$B ( 2，-2， 4 )$$，$$C ( 1，-4， 1 )$$，则向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}{°}}$$
B.$${{4}{5}{°}}$$
C.$${{6}{0}{°}}$$
D.$${{9}{0}{°}}$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%若$$\overrightarrow{a}=( 2，-3， 1 )$$，$$\vec{b}=( 2， 0， 3 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 0， 2， 2 )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )$$的值为$${{(}}$$$${{)}}$$
D
A.$${{4}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{3}}$$
2、已知空间向量$$\overrightarrow{a}=(-1, m, 2 )$$，$$\vec{b}=(-1, 2,-1 )$$，若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-3$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$。
首先计算点积：
$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1)(-1) + m \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 1 + 2m - 2 = 2m - 1
$$
根据题意：
$$
2m - 1 = -3 \Rightarrow m = -1
$$
计算向量长度：
$$
|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
$$
$$
|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
$$
计算夹角的余弦值：
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}
$$
因此夹角为：
$$
\theta = \frac{2\pi}{3}
$$
答案为 **C**。
4、把边长为$${{1}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{B}{D}}$$折成直二面角，若点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D},$$则$$\left| \overrightarrow{B P} \right|^{2}=$$（）。
设坐标系，令点$$B$$在原点：
$$
\overrightarrow{BA} = (1, 0, 0), \quad \overrightarrow{BC} = (0, 1, 0), \quad \overrightarrow{BD} = (1, 1, 0)
$$
折叠后，$$A$$和$$C$$分别变为$$(1, 0, 0)$$和$$(0, 1, 0)$$，$$D$$变为$$(0, 0, \sqrt{2})$$（因为$$BD$$长度为$$\sqrt{2}$$，且二面角为直角）。
计算$$\overrightarrow{BP}$$：
$$
\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} = (1, 0, 0) - (0, 1, 0) + (0, 0, \sqrt{2}) = (1, -1, \sqrt{2})
$$
计算长度平方：
$$
|\overrightarrow{BP}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 1 + 2 = 4
$$
答案为 **C**。
6、正四面体$$P-A B C$$的棱长为$${{2}}$$，点$${{D}}$$是$${{△}{P}{A}{B}}$$的重心，则$$\overrightarrow{P D} \cdot\overrightarrow{B C}$$的值为$${{(}{)}}$$。
设坐标系，令$$P = (0, 0, \sqrt{6}/3 \cdot 2)$$，$$A = (1, -\sqrt{3}/3, 0)$$，$$B = (-1, -\sqrt{3}/3, 0)$$，$$C = (0, 2\sqrt{3}/3, 0)$$。
计算重心$$D$$的坐标：
$$
D = \left( \frac{0 + 1 + (-1)}{3}, \frac{0 + (-\sqrt{3}/3) + (-\sqrt{3}/3)}{3}, \frac{\sqrt{6}/3 \cdot 2 + 0 + 0}{3} \right) = \left( 0, -\frac{2\sqrt{3}}{9}, \frac{2\sqrt{6}}{9} \right)
$$
向量$$\overrightarrow{PD}$$和$$\overrightarrow{BC}$$：
$$
\overrightarrow{PD} = D - P = \left( 0, -\frac{2\sqrt{3}}{9}, -\frac{4\sqrt{6}}{9} \right)
$$
$$
\overrightarrow{BC} = C - B = \left( 1, \sqrt{3}, 0 \right)
$$
计算点积：
$$
\overrightarrow{PD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \cdot 1 + \left( -\frac{2\sqrt{3}}{9} \right) \cdot \sqrt{3} + \left( -\frac{4\sqrt{6}}{9} \right) \cdot 0 = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}
$$
答案为 **D**。
7、已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2,-3, 0 )$$，$$\vec{b}=( 0, 3, 4 )$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影数量为$${{(}{)}}$$。
投影数量公式为：
$$
\text{投影} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}
$$
计算点积：
$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 3 + 0 \cdot 4 = -9
$$
计算$$|\overrightarrow{b}|$$：
$$
|\overrightarrow{b}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5
$$
因此投影为：
$$
\frac{-9}{5}
$$
答案为 **D**。
9、已知$$A ( 2,-5, 1 )$$，$$B ( 2,-2, 4 )$$，$$C ( 1,-4, 1 )$$，则向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为$${{(}{)}}$$。
计算向量：
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (0, 3, 3)
$$
$$
\overrightarrow{AC} = C - A = (-1, 1, 0)
$$
计算点积和长度：
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 3
$$
$$
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
$$
$$
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}
$$
计算夹角的余弦值：
$$
\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
$$
因此夹角为：
$$
\theta = 60^\circ
$$
答案为 **C**。
10、若$$\overrightarrow{a}=( 2,-3, 1 )$$，$$\vec{b}=( 2, 0, 3 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 0, 2, 2 )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )$$的值为$${{(}}$$$${{)}}$$。
首先计算$$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$$：
$$
\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (2 + 0, 0 + 2, 3 + 2) = (2, 2, 5)
$$
然后计算点积：
$$
\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = 2 \cdot 2 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 5 = 4 - 6 + 5 = 3
$$
答案为 **D**。
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