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正确率60.0%已知平行六面体$${{A}{B}{C}{D}{—}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，以顶点$${{A}}$$为端点的三条棱长都等于$${{1}}$$，且两两夹角都是$${{6}{0}{º}}$$，则对角线$${{A}{{C}_{1}}}$$的长是$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{6}}$$
3、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的相关概念']正确率40.0%已知$${{\{}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}{\}}}$$是空间的一个基底，则可以和$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}}$$构成空间的另一个基底的向量为$${{(}{)}}$$
A.$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}}$$
B.$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}{−}{{c}^{→}}}$$
C.$${{a}^{→}{+}{2}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}}$$
D.$${{2}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}}$$
4、['空间向量的相关概念']正确率60.0%给出下列说法：
①零向量没有确定的方向；
②空间向量是不能平行移动的；
③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；
④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等.
其中正确的说法是（）
C
A.①②
B.②③
C.①③
D.①③④
5、['空间向量的相关概念']正确率60.0%设棱长为$${{1}}$$的正方体$${{A}{{C}_{1}}}$$中的$${{8}}$$个顶点构成集合$${{S}}$$，集合$$P=\{\boldsymbol{a} | \boldsymbol{a}=\overrightarrow{P_{1} P_{2}}， \， \， \， P_{1}， \， \， \， P_{2} \in S \}$$，则集合$${{P}}$$中模为$${\sqrt {3}}$$的向量的个数是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
6、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A C}， \， \， \overrightarrow{B C}$$满足$$| \overrightarrow{A B} |=| \overrightarrow{A C} |+| \overrightarrow{B C} |，$$则（）
D
A.$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B C}$$
B.$$\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}$$
C.$$\overrightarrow{A C}$$与$$\overrightarrow{B C}$$同向
D.$$\overrightarrow{A C}$$与$$\overrightarrow{C B}$$同向
7、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%设$${{a}}$$表示向东$${{3}{m}{，}{b}}$$表示向北$${{4}{m}{，}{c}}$$表示向上$${{5}{m}}$$，则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{a}{−}{b}{+}{c}}$$表示向东$${{3}{m}}$$，向南$${{4}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$
B.$${{a}{+}{b}{−}{c}}$$表示向东$${{3}{m}}$$，向北$${{4}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$
C.$${{2}{a}{−}{b}{+}{c}}$$表示向东$${{3}{m}}$$，向南$${{4}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$
D.$${{2}{(}{a}{+}{b}{+}{c}{)}}$$表示向东$${{6}{m}}$$，向北$${{8}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$
8、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间向量的相关概念'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%若直线$${{l}{⊥}}$$平面$${{α}{，}}$$直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{b}^{→}{，}}$$则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{−}{1}{)}}$$
B.$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{1}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
C.$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{−}{4}{，}{−}{2}{，}{−}{2}{)}}$$
D.$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{3}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{−}{1}{)}}$$
9、['空间向量的相关概念']正确率80.0%下列命题中为真命题的是$${{(}{)}{.}}$$
A
A.向量$$\overrightarrow{\mathrm{A B}}$$与$$\overrightarrow{\mathrm{B A}}$$的长度相等
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
1. 平行六面体对角线长度问题
已知平行六面体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，以顶点$$A$$为端点的三条棱长均为$$1$$，且两两夹角为$$60º$$。求对角线$$AC_1$$的长度。
解析：
设三条棱为$$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AD}$$、$$\overrightarrow{AA_1}$$，则$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AA_1}| = 1$$，且夹角均为$$60º$$。
对角线$$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$$。
计算模长：
$$|\overrightarrow{AC_1}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA_1} + 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA_1}$$
$$= 1 + 1 + 1 + 2 \times 1 \times 1 \times \cos60º + 2 \times 1 \times 1 \times \cos60º + 2 \times 1 \times 1 \times \cos60º$$
$$= 3 + 3 \times 2 \times \frac{1}{2} = 6$$
因此，$$|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{6}$$。
答案： C
3. 空间基底问题
已知$$\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$$是空间的一个基底，问哪个向量可以与$$\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}$$构成另一个基底。
解析：
要构成基底，三个向量必须线性无关。设候选向量为$$\vec{v}$$，则$$\vec{v}$$不能表示为$$\vec{a}$$和$$\vec{b} + \vec{c}$$的线性组合。
选项分析：
A. $$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$$可以表示为$$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$，线性相关。
B. $$\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$$可以表示为$$\vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$$，线性相关。
C. $$\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}$$可以表示为$$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b}$$，线性相关。
D. $$2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$$无法仅用$$\vec{a}$$和$$\vec{b} + \vec{c}$$表示，线性无关。
答案： D
4. 向量方向与表示问题
判断关于向量的说法是否正确。
解析：
① 零向量方向任意，正确。
② 空间向量可以平行移动，错误。
③ 有向线段可表示向量，长度与模对应，正确。
④ 不同向量的长度可以相等，错误。
答案： C（①③正确）
5. 向量模为$$\sqrt{3}$$的个数问题
在棱长为1的正方体中，求模为$$\sqrt{3}$$的向量个数。
解析：
正方体的对角线长度为$$\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$。
每条空间对角线对应两个方向相反的向量，正方体有4条空间对角线，因此共有$$4 \times 2 = 8$$个向量。
答案： D
6. 向量关系问题
已知$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{BC}|$$，判断选项。
解析：
由向量三角不等式，$$|\overrightarrow{AB}| \leq |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{CB}|$$，当且仅当$$\overrightarrow{AC}$$与$$\overrightarrow{CB}$$同向时取等。
因此，$$\overrightarrow{AC}$$与$$\overrightarrow{CB}$$同向，即$$\overrightarrow{AC}$$与$$\overrightarrow{BC}$$反向。
答案： D
7. 向量物理意义问题
给定向量$$\vec{a}$$（东3m）、$$\vec{b}$$（北4m）、$$\vec{c}$$（上5m），判断选项描述是否正确。
解析：
A. $$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$$表示东3m、南4m、上5m，正确。
B. $$\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$$表示东3m、北4m、下5m，错误。
C. $$2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$$表示东6m、南4m、上5m，错误。
D. $$2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$表示东6m、北8m、上10m，错误。
答案： A
8. 方向向量与法向量关系问题
直线$$\vec{l} \perp$$平面$$\alpha$$，方向向量$$\vec{a}$$与法向量$$\vec{b}$$的关系。
解析：
$$\vec{l} \perp \alpha$$意味着$$\vec{a}$$与$$\vec{b}$$平行，即$$\vec{a} = k\vec{b}$$。
选项分析：
C. $$\vec{a} = (2,1,1)$$，$$\vec{b} = (-4,-2,-2)$$，满足$$\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{b}$$，平行。
其他选项不满足平行关系。
答案： C
9. 向量命题判断问题
判断命题真假。
解析：
A. $$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{BA}$$长度相等，方向相反，正确。
B. 向量是有向线段的抽象，不是具体线段，错误。
C. 单位向量的终点构成球面，错误。
D. 不相等的向量长度可以相等，错误。
答案： A