1、['空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( \boldsymbol{1}， ~ \boldsymbol{0}， ~ \boldsymbol{-1} )，$$则下列向量中与$${{a}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$的是（）
B
A.$$(-1， ~ 1， ~ 0 )$$
B.$$( 1， ~-1， ~ 0 )$$
C.$$( 0， ~-1， ~ 1 )$$
D.$$(-1， ~ 0， ~ 1 )$$
2、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}{，}{N}}$$分别是$$A_{1} B_{1}， ~ B B_{1}$$的中点，则直线$${{A}{M}}$$与$${{C}{N}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$- \frac{2} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
3、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率80.0%svg异常
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
4、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{2}} {5}$$
5、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%已知异面直线$${{a}{，}{b}}$$的方向向量分别是$$\overrightarrow{m}=( 2， 1，-3 )， \， \overrightarrow{n}=( 1，-3， 2 )$$，则$${{a}{，}{b}}$$夹角的大小是（）
C
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
6、['空间向量基本定理的应用'， '二面角'， '空间向量的夹角']正确率40.0%把边长为$${{a}}$$的正三角形$${{A}{B}{C}}$$沿$${{B}{C}}$$边上的高线$${{A}{D}}$$折成$${{6}{0}^{∘}}$$的二面角，此时点$${{A}}$$到直线$${{B}{C}}$$的距离是（）
D
A.$${{a}}$$
B.$${\frac{\sqrt6} {2}} a$$
C.$$\frac{\sqrt3} {3} a$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4} a$$
7、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{△}{A}{B}{C}}$$和$${{△}{P}{B}{C}}$$均为等边三角形，且二面角$$P-B C-A$$的大小为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则异面直线$${{P}{B}}$$和$${{A}{C}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{5} {8}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{7} {8}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
8、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( x， 4， 5 )， \overrightarrow{b}=( 1，-2， 2 )，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{\sqrt{2}} {6}，$$那么$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{-}{3}}$$
C.$${{-}{{1}{1}}}$$
D.$${{3}}$$或$${{-}{{1}{1}}}$$
9、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=2， \， A D=\， A \， A_{1}=1$$，则二面角$$C_{1}-A B-C$$的大小为
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
10、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$\vec{a}=( 3，-2，-3 )， \， \， \， \vec{b}=(-1， x-1， 1 )$$，且$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为钝角，则$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-2，+\infty)$$
B.$$(-2， \frac{5} {3} ) \cup( \frac{5} {3}，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-2 )$$
D.$$( \frac{5} {3}，+\infty)$$
1. 解析：
已知向量 $$\boldsymbol{a} = (1, 0, -1)$$，要求找到与 $$\boldsymbol{a}$$ 夹角为 $$60^\circ$$ 的向量。设选项中的向量为 $$\boldsymbol{b} = (x, y, z)$$，则需满足：
$$\cos 60^\circ = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{1}{2}.$$
计算 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x - z$$，$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$，$$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$。代入得：
$$\frac{x - z}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{1}{2}.$$
逐一验证选项：
- A 选项 $$\boldsymbol{b} = (-1, 1, 0)$$：$$\frac{-1 - 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{-1}{2} \neq \frac{1}{2}$$，不符合。
- B 选项 $$\boldsymbol{b} = (1, -1, 0)$$：$$\frac{1 - 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{1}{2}$$，符合。
- C 选项 $$\boldsymbol{b} = (0, -1, 1)$$：$$\frac{0 - 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{-1}{2} \neq \frac{1}{2}$$，不符合。
- D 选项 $$\boldsymbol{b} = (-1, 0, 1)$$：$$\frac{-1 - 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{-2}{2} = -1 \neq \frac{1}{2}$$，不符合。
因此，正确答案是 B。
2. 解析：
建立坐标系，设正方体顶点为 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$。则：
- $$M$$ 是 $$A_1B_1$$ 的中点，坐标为 $$\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$$。
- $$N$$ 是 $$BB_1$$ 的中点，坐标为 $$\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(1, 0, \frac{1}{2}\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$$，$$\overrightarrow{CN} = \left(0, -1, \frac{1}{2}\right)$$。
夹角的余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{CN}|} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}} \cdot \sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{2}{5}.$$
因此，正确答案是 B。
5. 解析：
已知方向向量 $$\overrightarrow{m} = (2, 1, -3)$$ 和 $$\overrightarrow{n} = (1, -3, 2)$$。夹角的余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + (-3) \cdot 2}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \frac{2 - 3 - 6}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}.$$
因此，夹角为 $$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$，即 $$\frac{3\pi}{4}$$ 不正确，正确答案是 B。
8. 解析：
已知向量 $$\overrightarrow{a} = (x, 4, 5)$$ 和 $$\overrightarrow{b} = (1, -2, 2)$$，夹角的余弦为 $$\frac{\sqrt{2}}{6}$$。则：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{x \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + 5 \cdot 2}{\sqrt{x^2 + 4^2 + 5^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{x - 8 + 10}{\sqrt{x^2 + 41} \cdot 3} = \frac{x + 2}{3 \sqrt{x^2 + 41}} = \frac{\sqrt{2}}{6}.$$
化简得：
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 41}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
平方后解方程：
$$4(x + 2)^2 = 2(x^2 + 41) \Rightarrow 4x^2 + 16x + 16 = 2x^2 + 82 \Rightarrow 2x^2 + 16x - 66 = 0 \Rightarrow x^2 + 8x - 33 = 0.$$
解得 $$x = 3$$ 或 $$x = -11$$。验证均满足原方程，因此正确答案是 D。
10. 解析：
已知向量 $$\vec{a} = (3, -2, -3)$$ 和 $$\vec{b} = (-1, x-1, 1)$$，夹角为钝角需满足：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \quad \text{且} \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \neq -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|.$$
计算点积：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot (x-1) + (-3) \cdot 1 = -3 - 2x + 2 - 3 = -2x - 4 < 0 \Rightarrow x > -2.$$
同时排除共线情况：
$$\frac{3}{-1} = \frac{-2}{x-1} = \frac{-3}{1} \Rightarrow x - 1 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{3}.$$
因此，$$x$$ 的取值范围是 $$(-2, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, +\infty)$$，正确答案是 B。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱
.jpg)