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正确率60.0%给出下列命题：$${①}$$零向量没有方向；$${②}$$若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；$${③}$$若空间向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则$${{a}^{→}{=}{{b}^{→}}{；}{④}}$$若空间向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}{，}{{p}^{→}}}$$满足$${{m}^{→}{=}{{n}^{→}}{，}{{n}^{→}}{=}{{p}^{→}}{，}}$$则$${{m}^{→}{=}{{p}^{→}}{；}{⑤}}$$空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
2、['空间向量的相关概念']正确率60.0%已知$${{a}{=}{(}{2}{，}{−}{3}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{3}{)}{，}}$$$${{c}{=}{(}{0}{，}{0}{，}{2}{)}{，}}$$则$${{a}{⋅}{(}{b}{+}{c}{)}{=}}$$（）
D
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{9}}$$
3、['空间向量的相关概念']正确率60.0%给出下列说法：
①零向量没有确定的方向；
②空间向量是不能平行移动的；
③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；
④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等.
其中正确的说法是（）
C
A.①②
B.②③
C.①③
D.①③④
4、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}^{′}}{{B}^{′}}{{C}^{′}}{{D}^{′}}}$$的中心为$${{O}{，}}$$则下列说法中正确的有（）
①$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量；
②$$\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}-\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
③$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}+\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
④$$\overrightarrow{O A}^{\prime}-\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量.
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
5、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%设$${{{a}_{1}}^{→}{=}{2}{{m}^{→}}{−}{{j}^{→}}{+}{{k}^{→}}{，}{{{a}_{2}}^{→}}{=}{{m}^{→}}{+}{3}{{j}^{→}}{−}{2}{{k}^{→}}{，}{{{a}_{3}}^{→}}{=}{−}{2}{{m}^{→}}{+}{{j}^{→}}{−}{3}{{k}^{→}}{，}{{{a}_{4}}^{→}}{=}{3}{{m}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{+}{5}{{k}^{→}}{，}{(}}$$其中$${{m}^{→}{，}{{j}^{→}}{，}{{k}^{→}}}$$是两两垂直的单位向量$${{)}}$$，若$${{{a}_{4}}^{→}{=}{λ}{{{a}_{1}}^{→}}{+}{μ}{{{a}_{2}}^{→}}{+}{ν}{{{a}_{3}}^{→}}{，}}$$则实数$${{λ}{，}{μ}{，}{ν}}$$的值分别是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{，}{−}{2}{，}{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}{，}{1}{，}{−}{3}}$$
C.$${{−}{2}{，}{1}{，}{3}}$$
D.$${{−}{1}{，}{2}{，}{3}}$$
6、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的相关概念'， '空间向量的数量积']正确率60.0%给出下列命题：
$${①}$$已知$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{a}^{→}{⋅}{(}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{)}{+}{{{c}{⋅}}^{→}}{(}{{b}^{→}}{−}{{a}^{→}}{)}{=}{{b}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{；}}$$
$${②{A}{、}{B}{、}{M}{、}{N}}$$为空间四点，若$$\overrightarrow{B A}， \， \， \overrightarrow{B M}， \， \， \overrightarrow{B N}$$不构成空间的一个基底，则$${{A}{、}{B}{、}{M}{、}{N}}$$共面；
$${③}$$已知$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$与任何向量不构成空间的一个基底；
$${④}$$已知$${{\{}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}{\}}}$$是空间的一个基底，则基向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$可以与向量$${{m}^{→}{=}{{a}^{→}}{+}{{c}^{→}}}$$构成空间另一个基底．
正确命题个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '空间投影向量与投影数量']正确率80.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{−}{3}{，}{0}{)}}$$，$${{b}^{→}{=}{(}{0}{，}{3}{，}{4}{)}}$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$方向上的投影数量为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
B.$$\frac{9 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
C.$$\frac{9} {5}$$
D.$$- \frac{9} {5}$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知空间中三点$${{A}{(}{0}{，}{1}{，}{0}{)}}$$，$${{B}{(}{2}{，}{2}{，}{0}{)}}$$，$${{C}{(}{−}{1}{，}{3}{，}{1}{)}}$$，则$${{(}{)}}$$
D
A.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$是共线向量
B.与向量$$\overrightarrow{A B}$$方向相同的单位向量是$$\left( \frac{2 \sqrt{5}} {5}，-\frac{\sqrt{5}} {5}， 0 \right)$$
C.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{B C}$$夹角的余弦值是$$\frac{\sqrt{5 5}} {1 1}$$
D.平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量是$${{(}{1}{，}{−}{2}{，}{5}{)}}$$
9、['空间向量的相关概念']正确率40.0%给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则$${{a}^{→}{=}{{b}^{→}}}$$；③在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，必有$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$$；④若空间向量$${{m}^{→}}$$，$${{n}^{→}}$$，$${{p}^{→}}$$满足$${{m}^{→}{=}{{n}^{→}}}$$，$${{n}^{→}{=}{{p}^{→}}}$$，则$${{m}^{→}{=}{{p}^{→}}}$$；⑤空间中任意两个单位向量必相等$${{.}}$$其中不正确的个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
① 零向量方向任意，命题错误；
② 向量相等只需长度和方向相同，与起点终点无关，命题错误；
③ 向量长度相等不代表向量相同，命题错误；
④ 向量具有传递性，命题正确；
⑤ 单位向量长度相同但方向可能不同，命题错误。
综上，仅④正确，答案为 $$D$$。
2. 解析：
计算 $$b + c = (2, 0, 3) + (0, 0, 2) = (2, 0, 5)$$；
再计算 $$a \cdot (b + c) = 2 \times 2 + (-3) \times 0 + 1 \times 5 = 4 + 0 + 5 = 9$$。
答案为 $$D$$。
3. 解析：
① 零向量方向任意，说法正确；
② 空间向量可以平行移动，说法错误；
③ 有向线段可表示向量，长度与模对应，说法正确；
④ 向量不同可能仅方向不同，长度可以相等，说法错误。
综上，①③正确，答案为 $$C$$。
4. 解析：
设正方体边长为 2，中心 $$O$$ 为原点，建立坐标系：
① $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = (1,1,0) + (-1,1,0) = (0,2,0)$$，$$\overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} = (1,-1,1) + (-1,-1,1) = (0,-2,2)$$，不是相反向量；
② $$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = (1,-1,0) - (-1,-1,0) = (2,0,0)$$，$$\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OD'} = (1,1,1) - (-1,1,1) = (2,0,0)$$，不是相反向量；
③ $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (0,2,0) + (2,0,0) = (2,2,0)$$，$$\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = (0,-2,2) + (2,0,2) = (2,-2,4)$$，不是相反向量；
④ $$\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OA} = (0,0,1)$$，$$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC'} = (-1,-1,0) - (-1,-1,1) = (0,0,-1)$$，是一对相反向量。
综上，仅④正确，答案为 $$A$$。
5. 解析：
将 $$a_4$$ 表示为 $$a_1$$、$$a_2$$、$$a_3$$ 的线性组合：
$$3\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k} = \lambda(2\overrightarrow{m} - \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}) + \mu(\overrightarrow{m} + 3\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k}) + \nu(-2\overrightarrow{m} + \overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k})$$
解得方程组：
$$2\lambda + \mu - 2\nu = 3$$
$$-\lambda + 3\mu + \nu = 2$$
$$\lambda - 2\mu - 3\nu = 5$$
解得 $$\lambda = -2$$，$$\mu = 1$$，$$\nu = -3$$，答案为 $$B$$。
6. 解析：
① 展开后利用 $$a \perp b$$ 化简，结果为 $$b \cdot c$$，命题正确；
② 若 $$\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{BN}$$ 不构成基底，则共面，说明 $$A, B, M, N$$ 共面，命题正确；
③ $$a \perp b$$ 时，若 $$c$$ 与 $$a, b$$ 不共面，仍可构成基底，命题错误；
④ $$a, b, m = a + c$$ 可能线性相关（如 $$c$$ 与 $$a, b$$ 相关时），命题错误。
综上，①②正确，答案为 $$B$$。
7. 解析：
投影数量公式为 $$\frac{a \cdot b}{|b|} = \frac{2 \times 0 + (-3) \times 3 + 0 \times 4}{\sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}} = \frac{-9}{5}$$。
答案为 $$D$$。
8. 解析：
A. $$\overrightarrow{AB} = (2,1,0)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-1,2,1)$$，不成比例，不共线；
B. 单位向量为 $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0\right)$$，方向错误；
C. $$\overrightarrow{BC} = (-3,1,1)$$，夹角余弦为 $$\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|} = \frac{-6 + 1 + 0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11}} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$$，符号错误；
D. 法向量与 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$ 的点积均为 0，验证 $$(1,-2,5) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，$$(1,-2,5) \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，正确。
答案为 $$D$$。
9. 解析：
① 向量相等与起点终点无关，错误；
② 长度相等不代表向量相同，错误；
③ 正方体中 $$\overrightarrow{AC}$$ 与 $$\overrightarrow{A_1C_1}$$ 长度方向均相同，正确；
④ 向量具有传递性，正确；
⑤ 单位向量方向可能不同，错误。
不正确的有 3 个，答案为 $$C$$。