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正确率60.0%若$$A ( 6， ~-1， ~ 4 )， ~ B ( 1， ~-2， ~ 1 )， ~ C ( 4， ~ 2， ~ 3 )，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
A
A.不等边的锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2、['空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率80.0%已知异面直线$${{a}{，}{b}}$$的一个方向向量分别是$$\boldsymbol{m}=( 2， ~ ~ 1， ~ ~-3 )， ~ ~ \boldsymbol{n}=( 1， ~ ~-3， ~ 2 )，$$则$${{a}{，}{b}}$$所成角的大小是（）
C
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
3、['空间向量的夹角']正确率60.0%已知空间向量$$\textit{a， b， c}$$满足$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0， ~ | \boldsymbol{a} |=2， ~ | \boldsymbol{b} |=3， ~ | \boldsymbol{c} |=4，$$则$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.以上都不对
5、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$A ( 1， 0， 0 )， B ( 0，-1， 1 )， O$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}+\lambda\overrightarrow{O B}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$$\mathbf{1 2 0}^{\circ}，$$则$${{λ}}$$的值为（）
C
A.$$\pm\frac{\sqrt{6}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$
D.$${{±}{\sqrt {6}}}$$
6、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率60.0%如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是$$\overrightarrow{a}=$$那么这条斜线与平面所成的角是（）
B
A.$${{9}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
7、['空间向量的夹角']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( 1， \lambda， 2 )， \， \overrightarrow{b}=( 2，-1， 2 )，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角余弦为$$\frac{8} {9}，$$则$${{λ}}$$等于（）
A
A.$${{−}{2}}$$或$$\frac{2} {5 5}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}}$$或$$- \frac{2} {5 5}$$
8、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( x， 4， 5 )， \overrightarrow{b}=( 1，-2， 2 )，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{\sqrt{2}} {6}，$$那么$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{-}{3}}$$
C.$${{-}{{1}{1}}}$$
D.$${{3}}$$或$${{-}{{1}{1}}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 2， 1 )， \， \overrightarrow{b}=(-1， 1，-2 )，$$则 $${{a}^{→}}$$与 $${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$${{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{8}{0}^{∘}}$$
10、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$\vec{a}=( 3，-2，-3 )， \， \， \， \vec{b}=(-1， x-1， 1 )$$，且$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为钝角，则$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-2，+\infty)$$
B.$$(-2， \frac{5} {3} ) \cup( \frac{5} {3}，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-2 )$$
D.$$( \frac{5} {3}，+\infty)$$
1. 首先计算向量 $$AB = B - A = (-5, -1, -3)$$，$$AC = C - A = (-2, 3, -1)$$，$$BC = C - B = (3, 4, 2)$$。
计算各边的长度：$$|AB| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{35}$$，$$|AC| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$$，$$|BC| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{29}$$。
通过余弦定理判断角的大小：计算点积 $$AB \cdot AC = (-5)(-2) + (-1)(3) + (-3)(-1) = 10 - 3 + 3 = 10$$，$$cos \angle BAC = \frac{10}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{14}} > 0$$，同理其他角也为锐角，且三边不等，因此选 A。
2. 异面直线的夹角由方向向量的夹角决定。计算向量 $$\boldsymbol{m}$$ 和 $$\boldsymbol{n}$$ 的点积：$$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 2 \times 1 + 1 \times (-3) + (-3) \times 2 = 2 - 3 - 6 = -7$$。
向量的模：$$|\boldsymbol{m}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$$，$$|\boldsymbol{n}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$$。
夹角的余弦值：$$cos \theta = \frac{-7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = -\frac{1}{2}$$，因此夹角为 $$\frac{2\pi}{3}$$，选 A。
3. 由 $$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0$$，得 $$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = -\boldsymbol{c}$$。两边平方得：$$|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{c}|^2$$。
代入已知模长：$$4 + 9 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 16$$，解得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{3}{2}$$。
夹角的余弦值：$$cos \theta = \frac{\frac{3}{2}}{2 \times 3} = \frac{1}{4}$$，因此夹角不为特殊角，选 D。
5. 向量 $$\overrightarrow{OA} = (1, 0, 0)$$，$$\overrightarrow{OB} = (0, -1, 1)$$，则 $$\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB} = (1, -\lambda, \lambda)$$。
根据夹角公式：$$cos 120^\circ = \frac{(1, -\lambda, \lambda) \cdot (0, -1, 1)}{|(1, -\lambda, \lambda)| \cdot |(0, -1, 1)|} = \frac{\lambda + \lambda}{\sqrt{1 + 2\lambda^2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\lambda}{\sqrt{2 + 4\lambda^2}} = -\frac{1}{2}$$。
解得 $$\lambda = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$$，选 A。
6. 题目描述不完整，但根据选项推断，斜线与射影的夹角为 $$60^\circ$$，因此斜线与平面的夹角为 $$90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$，选 D。
7. 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, \lambda, 2)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, -1, 2)$$，点积 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 - \lambda + 4 = 6 - \lambda$$。
模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1 + \lambda^2 + 4} = \sqrt{5 + \lambda^2}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$。
根据余弦值：$$\frac{6 - \lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{8}{9}$$，解得 $$\lambda = -2$$ 或 $$\lambda = \frac{2}{55}$$，选 A。
8. 向量 $$\overrightarrow{a} = (x, 4, 5)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, -2, 2)$$，点积 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x - 8 + 10 = x + 2$$。
模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + 16 + 25} = \sqrt{x^2 + 41}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$。
根据余弦值：$$\frac{x + 2}{3 \sqrt{x^2 + 41}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$，解得 $$x = 3$$ 或 $$x = -11$$，选 D。
9. 向量 $$\overrightarrow{a} = (0, 2, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1, 1, -2)$$，点积 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 + 2 - 2 = 0$$，因此夹角为 $$90^\circ$$，选 C。
10. 向量 $$\vec{a} = (3, -2, -3)$$，$$\vec{b} = (-1, x-1, 1)$$，点积 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3 - 2(x-1) - 3 = -3 - 2x + 2 - 3 = -2x -4$$。
夹角为钝角的条件是 $$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$$ 且 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 不共线。解得 $$-2x -4 < 0$$ 即 $$x > -2$$，同时排除 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 共线的情况，即 $$x \neq \frac{5}{3}$$，因此选 B。