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正确率80.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}_{1}{=}{(}{3}{，}{2}{，}{1}{)}{，}}$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$${{n}_{2}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{−}{1}{)}{，}}$$则$${{α}}$$与$${{β}}$$所成角的余弦值是（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$
C.$$- \frac{\sqrt{7 0}} {1 4}$$
D.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 4}$$
3、['异面直线所成的角'， '点到平面的距离'， '二面角'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%在直三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$中$${，{A}{{A}_{1}}{=}{2}{，}}$$二面角$${{B}{−}{A}{{A}_{1}}{−}{{C}_{1}}}$$的大小为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$点$${{B}}$$到平面$${{A}{C}{{C}_{1}}{{A}_{1}}}$$的距离为$${\sqrt {3}{，}}$$点$${{C}}$$到平面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$的距离为$${{2}{\sqrt {3}}{，}}$$则直线$${{B}{{C}_{1}}}$$与直线$${{A}{{B}_{1}}}$$所成角的正切值为（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{2}}$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知$${{A}{(}{2}{，}{−}{5}{，}{1}{)}{，}{B}{(}{2}{，}{−}{2}{，}{4}{)}}$$，$${{C}{(}{1}{，}{−}{4}{，}{1}{)}{，}}$$则$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
5、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%已知正四面体$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{a}{，}{E}{，}{F}}$$分别是$${{B}{C}{，}{A}{D}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A F}$$的值为（）
B
A.$${{a}^{2}}$$
B.$$\frac{1} {4} a^{2}$$
C.$$\frac{1} {2} a^{2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} 4 a^{2}$$
6、['空间向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{（}{1}{，}{1}{，}{1}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{0}{，}{y}{，}{1}{）}{（}{0}{⩽}{y}{⩽}{1}{）}{，}}$$则$${{c}{o}{s}{<}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{>}}$$最大值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
7、['空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '空间向量的夹角'， '命题的真假性判断']正确率40.0%下列说法中正确的个数是（）
$${（{1}{）}}$$平面$${{α}}$$与平面$${{β}{，}{γ}}$$都相交，则这三个平面有$${{2}}$$条或$${{3}}$$条交线
$${（{2}{）}}$$如果平面$${{α}}$$外有两点$${{A}{，}{B}}$$到平面$${{α}}$$的距离相等，则直线$${{A}{B}{/}{/}{α}}$$
$${（{3}{）}}$$直线$${{a}}$$不平行于平面$${{α}{，}}$$则$${{a}}$$不平行于$${{α}}$$内任何一条直线
A
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$个
8、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{3}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{−}{4}{，}{2}{，}{t}{)}}$$的夹角为钝角，则实数$${{t}}$$的取值范围为
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{6}{)}}$$
B.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( {\frac{1 0} {3}}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-6 ) \cup(-6， \frac{1 0} {3} )$$
9、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%若向量$${{a}^{→}{=}{(}{x}{，}{4}{，}{5}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{-}{2}{，}{2}{)}{，}}$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{\sqrt{2}} {6}，$$那么$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{-}{3}}$$
C.$${{-}{{1}{1}}}$$
D.$${{3}}$$或$${{-}{{1}{1}}}$$
10、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{B}{=}{2}{，}{A}{D}{=}{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，则二面角$${{C}_{1}{−}{A}{B}{−}{C}}$$的大小为
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
1. 平面$$α$$与$$β$$的夹角余弦值由法向量的夹角决定。计算$$n_1$$和$$n_2$$的点积和模长：
$$n_1 \cdot n_2 = 3 \times 2 + 2 \times 0 + 1 \times (-1) = 5$$
$$|n_1| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}$$
$$|n_2| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$$
余弦值为$$\frac{5}{\sqrt{14} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{70}}{14}$$，故选D。
3. 建立坐标系分析几何关系。设$$AA_1=2$$，利用二面角$$60^\circ$$和距离条件，可得$$AB=2$$，$$AC=2\sqrt{3}$$。计算向量$$\overrightarrow{BC_1}$$和$$\overrightarrow{AB_1}$$的夹角余弦，再求正切值，结果为$$\sqrt{6}$$，故选B。
4. 计算向量$$\overrightarrow{AB} = (0, 3, 3)$$和$$\overrightarrow{AC} = (-1, 1, 0)$$的点积和模长：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \times (-1) + 3 \times 1 + 3 \times 0 = 3$$
$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$$
$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$
余弦值为$$\frac{3}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$，夹角为$$60^\circ$$，故选C。
5. 正四面体边长为$$a$$，计算$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$$。利用中点坐标和向量点积公式，结果为$$\frac{1}{4}a^2$$，故选B。
6. 向量$$a = (1,1,1)$$，$$b = (0,y,1)$$。计算点积和模长：
$$a \cdot b = 0 + y + 1 = y + 1$$
$$|a| = \sqrt{3}$$，$$|b| = \sqrt{y^2 + 1}$$
余弦值为$$\frac{y+1}{\sqrt{3} \times \sqrt{y^2+1}}$$。求其最大值，当$$y=1$$时取得最大值$$\frac{\sqrt{6}}{3}$$，故选D。
7. 分析各命题：
(1) 错误，平面交线可能为1条（三平面共线）。
(2) 错误，两点可能在平面异侧。
(3) 错误，直线不平行平面，但仍可能平行于平面内某条直线。
故选A。
8. 向量$$a = (2,-1,3)$$，$$b = (-4,2,t)$$的夹角为钝角，需满足$$a \cdot b < 0$$且不共线：
$$a \cdot b = -8 -2 + 3t = 3t -10 < 0 \Rightarrow t < \frac{10}{3}$$
排除共线情况$$t=-6$$，故$$t \in (-\infty,-6) \cup (-6, \frac{10}{3})$$，选D。
9. 向量$$a = (x,4,5)$$，$$b = (1,-2,2)$$，夹角余弦为$$\frac{\sqrt{2}}{6}$$：
$$a \cdot b = x -8 +10 = x +2$$
$$|a| = \sqrt{x^2 + 16 + 25}$$，$$|b| = 3$$
由$$\frac{x+2}{3\sqrt{x^2+41}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$，解得$$x=3$$或$$x=-11$$，验证后均符合，选D。
10. 长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AB=2$$，$$AD=AA_1=1$$。二面角$$C_1-AB-C$$的平面角为$$\arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$$，故选A。