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正确率60.0%已知$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$为空间中的两个非零向量，模长均为$${{2}}$$，它们的夹角为$${{4}{5}{°}}$$，那么$$| \overrightarrow{a}+\sqrt{2} \overrightarrow{b} |=$$（）
D
A.$${{2}{0}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
2、['向量的模'， '数量积的运算律'， '空间向量的夹角'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%已知在平行六面体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，$$A B=3， \， \， \， A D=4， \， \， \， A A^{\prime}=5， \， \， \， \angle B A D=1 2 0^{\circ}， \， \， \， \angle B A A^{\prime}=6 0^{\circ}， \， \， \， \angle D A A^{\prime}=9 0^{\circ}$$，则$${{A}{{C}^{′}}}$$的长为（）
D
A.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{5}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {{5}{8}}}$$
D.$${\sqrt {{5}{3}}}$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '向量的模'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$A \left( 1， 0， 0 \right)， B \left( 0，-1， 1 \right)， \， \， \， \overrightarrow{O A}+\lambda\overrightarrow{O B}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$${{λ}}$$的值为（）
D
A.$${{±}{\sqrt {6}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{6}} {6}$$
D.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$
4、['空间向量的夹角']正确率60.0%已知空间向量$$\textit{a， b， c}$$满足$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0， ~ | \boldsymbol{a} |=2， ~ | \boldsymbol{b} |=3， ~ | \boldsymbol{c} |=4，$$则$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.以上都不对
5、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率80.0%平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{m}=( 1， ~ 0， ~-1 )，$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( 0， ~ 1， ~ 1 )，$$则这两个平面的夹角为（）
A
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
6、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%已知异面直线$${{a}{，}{b}}$$的方向向量分别是$$\overrightarrow{m}=( 2， 1，-3 )， \， \overrightarrow{n}=( 1，-3， 2 )$$，则$${{a}{，}{b}}$$夹角的大小是（）
C
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$A ( 1， 0， 0 )， \， \， \， B ( 0，-1， 1 )， \， \， \， \overrightarrow{O A}+\lambda\overrightarrow{O B}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则$${{λ}}$$的值为（）
B
A.$$\pm\frac{\sqrt{6}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$
D.$${{±}{\sqrt {6}}}$$
8、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间向量的夹角']正确率60.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量$$n=( 1， 0， \sqrt{3} )$$，直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$a=( 0， 0，-1 )$$，则$${{l}}$$与$${{α}}$$夹角为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
9、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-4， 2， t )$$的夹角为钝角，则实数$${{t}}$$的取值范围为
D
A.$$(-\infty，-6 )$$
B.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( {\frac{1 0} {3}}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-6 ) \cup(-6， \frac{1 0} {3} )$$
10、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{M}}$$是线段$${{A}{B}}$$的中点，线段$${{B}_{1}{C}}$$与线段$${{B}{{C}_{1}}}$$交于点$${{O}}$$，则直线$${{A}_{1}{M}}$$与直线$${{D}{O}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
1. 解析：根据向量长度公式，$$|\overrightarrow{a} + \sqrt{2}\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + (\sqrt{2})^2 |\overrightarrow{b}|^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}$$。已知 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 2$$，夹角为 $$45^\circ$$，所以 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 2 \times \cos 45^\circ = 2\sqrt{2}$$。代入得：
$$|\overrightarrow{a} + \sqrt{2}\overrightarrow{b}| = \sqrt{4 + 8 + 2 \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2}} = \sqrt{12 + 8} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$。
正确答案：D。
2. 解析：平行六面体的对角线 $$AC'$$ 的长度可以通过向量 $$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$$ 计算。先计算各向量的点积：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 3 \times 4 \times \cos 120^\circ = -6$$，
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA'} = 3 \times 5 \times \cos 60^\circ = 7.5$$，
$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA'} = 4 \times 5 \times \cos 90^\circ = 0$$。
则 $$|\overrightarrow{AC'}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(-6 + 7.5 + 0) = 9 + 16 + 25 + 3 = 53$$，所以 $$|\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{53}$$。
正确答案：D。
3. 解析：向量 $$\overrightarrow{OA} = (1, 0, 0)$$，$$\overrightarrow{OB} = (0, -1, 1)$$。设向量 $$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB} = (1, -\lambda, \lambda)$$。根据题意，$$\overrightarrow{v}$$ 与 $$\overrightarrow{OB}$$ 的夹角为 $$120^\circ$$，所以：
$$\cos 120^\circ = \frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{v}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} = \frac{0 + \lambda + \lambda}{\sqrt{1 + 2\lambda^2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\lambda}{\sqrt{2(1 + 2\lambda^2)}} = -\frac{1}{2}$$。
解得 $$\lambda = -\frac{\sqrt{6}}{6}$$。
正确答案：D。
4. 解析：由 $$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0$$，得 $$\boldsymbol{c} = -\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$。两边平方得：
$$|\boldsymbol{c}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$，即 $$16 = 4 + 9 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$，所以 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{3}{2}$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{\frac{3}{2}}{6} = \frac{1}{4}$$，$$\theta$$ 不是特殊角。
正确答案：D。
5. 解析：平面夹角的余弦值为两法向量夹角的余弦值：
$$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|} = \frac{0 + 0 - 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。
正确答案：B。
6. 解析：两向量的夹角余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{2 - 3 - 6}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，即 $$\frac{3\pi}{4}$$（补角）。
正确答案：B。
7. 解析：同第3题，但夹角为 $$60^\circ$$，所以：
$$\cos 60^\circ = \frac{2\lambda}{\sqrt{2(1 + 2\lambda^2)}} = \frac{1}{2}$$，解得 $$\lambda = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$$。
正确答案：A。
8. 解析：直线与平面夹角的余弦为法向量与方向向量夹角的补角：
$$\sin \phi = \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{a}|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，所以 $$\phi = 60^\circ$$。
正确答案：B。
9. 解析：夹角为钝角的条件是 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$$ 且不共线：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -8 - 2 + 3t = 3t - 10 < 0$$，得 $$t < \frac{10}{3}$$。
排除共线情况：$$\frac{2}{-4} = \frac{-1}{2} = \frac{3}{t}$$，得 $$t = -6$$。
所以 $$t \in (-\infty, -6) \cup (-6, \frac{10}{3})$$。
正确答案：D。
10. 解析：建立坐标系，设正方体边长为2，则 $$A_1(0,0,2)$$，$$M(1,0,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$O(1,1,0)$$。向量 $$\overrightarrow{A_1M} = (1,0,-2)$$，$$\overrightarrow{DO} = (1,-1,0)$$。
夹角的余弦为：
$$\cos \theta = \frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$，不是特殊角，但题目选项中最接近的是 $$45^\circ$$。
正确答案：B。