空间向量共线定理-空间向量及其运算知识点考前基础单选题自测题答案-四川省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

正确率40.0%下列说法正确的是（）

B

A.$${{|}{a}{|}{−}{|}{b}{|}{<}{|}{a}{+}{b}{|}}$$是向量$${{a}{，}{b}}$$不共线的充要条件

B.在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{B D}=0$$

C.在棱长为$${{1}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=\frac{1} {2}$$

D.设$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$三点不共线$${，{O}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$外一点，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}，$$则$${{P}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$四点共面

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{2}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{=}{0}{，}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{=}{−}{2}}$$，则$${（{3}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{）}{⋅}{（}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{）}{=}{（}}$$）

B

A.$${{1}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

正确率60.0% 已知向量 $${{a}{⃗}}$$ ， $${{b}^{⃗}}$$ ，且 $$\overrightarrow{A B}$$ $${{=}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{+}{2}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ， $$\overrightarrow{B C}$$ $${{=}{−}{5}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{+}{6}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ， $$\overrightarrow{C D}$$ $${{=}{7}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{−}{2}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ，则一定共线的三点是 （）

A

A. $${{A}{，}{B}{，}{D}}$$

B. $${{A}{，}{B}{，}{C}}$$

C. $${{B}{，}{C}{，}{D}}$$

D. $${{A}{，}{C}{，}{D}}$$

正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为非零向量，则$${{(}{{a}{⃗}}{⋅}{{b}^{⃗}}{{)}^{2}}{=}{{a}{⃗}^{2}}{{b}^{⃗}^{2}}}$$​是$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$共线的（）

C

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

正确率19.999999999999996%给出下列说法：
①若$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$是空间任意四点，则有$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}={\bf0}$$；
②$${{|}{a}{+}{b}{|}{=}{|}{a}{|}{−}{|}{b}{|}}$$是$${{a}{，}{b}}$$共线的充要条件；
③若$${{A}{B}{/}{/}{C}{D}{，}}$$则$$\overrightarrow{A B}， \ \overrightarrow{C D}$$共线；
④对空间任意一点$${{O}}$$与不共线的三点$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}}$$若$$\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{C O}$$且$${{x}{+}{y}{−}{z}{=}{1}}$$(其中$${{x}{，}{y}{，}{z}{∈}{R}{)}{，}}$$则$${{P}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$四点共面.
其中错误说法的个数是（）

A

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率60.0%已知非零向量$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$不共线，若$$\overrightarrow{A B}={\bf e}_{1}+{\bf e}_{2}， \， \， \， \overrightarrow{A C}=2 {\bf e}_{1}+8 {\bf e}_{2}，$$$$\overrightarrow{A D}=3 {\bf e}_{1}-3 {\bf e}_{2}，$$则$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$四点             （）

C

A.共线

B.恰是空间四边形的四个顶点

C.共面

D.不共面

正确率60.0%若空间中四点$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$满足$$4 \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=4 \overrightarrow{D B}，$$则$$\frac{| \overrightarrow{A B} |} {| \overrightarrow{B C} |}=$$（）

A

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

正确率80.0%若$${{O}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$为空间中的四个点，且向量$$\overrightarrow{O A}， \， \， \overrightarrow{O B}， \， \， \overrightarrow{O C}$$不能构成空间向量的一组基底，则（）

D

A.$$\overrightarrow{O A}， \， \， \overrightarrow{O B}， \， \， \overrightarrow{O C}$$共线

B.$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$共线

C.$$\overrightarrow{O B}， \， \， \overrightarrow{O C}$$共线

D.$${{O}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$四点共面

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{（}{λ}{+}{1}{，}{0}{，}{2}{）}{，}}$$$${{b}^{→}{=}{（}{6}{，}{2}{μ}{−}{1}{，}{2}{λ}{）}}$$，若$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}}$$，则$${{λ}{+}{μ}}$$的值可以是（）

A

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{2}}$$

选项B正确。在空间四边形$$ABCD$$中，利用向量点积的性质，可以证明$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$$。其他选项分析如下：

A选项：$${|a| - |b| < |a + b|}$$是向量不共线的充分条件，但不是必要条件。

C选项：在棱长为1的正四面体中，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}$$，而非$$\frac{1}{2}$$。

D选项：$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$的系数和为$$\frac{4}{3} \neq 1$$，因此$$P, A, B, C$$不共面。

答案为D。已知$$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = 0$$，则$$\overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{a}$$。代入点积条件$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2$$，得$$\overrightarrow{a} \cdot (-2\overrightarrow{a}) = -2$$，即$$|\overrightarrow{a}|^2 = 1$$。

计算$$(3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$$： $$= (3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} \cdot 3\overrightarrow{a} = 3|\overrightarrow{a}|^2 = 3 \times 1 = 3$$。

答案为A。计算$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) + (-5\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}) + (7\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = 3\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}$$。

可见$$\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB}$$，故$$A, B, D$$三点共线。

答案为C。$$(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2$$等价于$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$平行（共线），因此是充要条件。

答案为B。说法①正确，因为$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \mathbf{0}$$。

说法②错误，$$|a + b| = |a| - |b|$$仅当$$a$$与$$b$$反向且$$|a| \geq |b|$$时成立，不是充要条件。

说法③正确，若$$AB \parallel CD$$，则$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{CD}$$方向相同或相反。

说法④错误，正确的系数和应为$$x + y + z = 1$$，而非$$x + y - z = 1$$。

答案为C。验证四点共面性：设$$\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$$，解得$$x = -1$$，$$y = 1$$，因此$$A, B, C, D$$共面。

答案为B。由$$4\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{DB}$$，化简得$$\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{CB}$$，故$$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|} = 3$$。

答案为D。若$$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$$不能构成基底，说明它们共面，即$$O, A, B, C$$四点共面。

答案为A。由$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，得$$\frac{\lambda + 1}{6} = \frac{0}{2\mu - 1} = \frac{2}{2\lambda}$$。解得$$\lambda = -3$$或$$\lambda = 2$$。

当$$\lambda = 2$$时，$$\mu = \frac{1}{2}$$，此时$$\lambda + \mu = \frac{5}{2}$$。