空间向量的夹角-空间向量及其运算知识点课后进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['数量积的性质'， '空间向量的夹角']

正确率60.0%空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中，$${{O}{B}{=}{O}{C}}$$，$${{∠}{A}{O}{B}{=}{∠}{A}{O}{C}}$$$$= \frac{\pi} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \langle\overrightarrow{O A}， \ \overrightarrow{B C} \rangle=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$${{0}}$$

2、['空间向量的夹角'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%已知$$\overrightarrow{A B}=( 1， \enskip3， \enskip-2 )， \overrightarrow{B C}=( 3， \enskip1， \enskip-2 )， \overrightarrow{B P}=(-1， \enskip0， \enskip2 )，$$则平面$${{A}{B}{C}}$$的法向量与$$\overrightarrow{B P}$$的夹角的余弦值为（）

A.$$\frac{\sqrt{3 0}} {1 0}$$

B.$$\frac{\sqrt{3 0}} {1 0}$$或$$- \frac{\sqrt{3 0}} {1 0}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

D.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$或$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

3、['空间向量的夹角']

正确率60.0%已知空间向量$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$${{a}{+}{b}{+}{c}{=}{0}{，}{|}{a}{|}{=}{2}{，}{|}{b}{|}{=}{3}{，}{|}{c}{|}{=}{4}{，}}$$则$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{4}{5}^{∘}}$$

C.$${{6}{0}^{∘}}$$

D.以上都不对

4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角']

正确率60.0%若$$\overrightarrow{a}=( 2， 2， 0 )， \overrightarrow{b}=( 1， 2， z )， \langle\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b} \rangle=\frac{\pi} {3}$$，则$${{z}}$$等于（）

A.$${\sqrt {{2}{2}}}$$

B.$${{−}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

C.$${{±}{\sqrt {{2}{2}}}}$$

D.$${{±}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

5、['空间向量的夹角']

正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}}$$是异面直线，$${{A}{、}{B}{∈}{a}{，}{C}{、}{D}{∈}{b}{，}{A}{C}{⊥}{b}{，}{B}{D}{⊥}{b}}$$，且$${{A}{B}{=}{2}{，}{C}{D}{=}{1}}$$，则$${{a}}$$与$${{b}}$$所成的角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']

正确率60.0%已知$${{a}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{−}{2}{，}{2}{，}{0}{)}{，}}$$则向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{4}{5}^{∘}}$$

C.$${{6}{0}^{∘}}$$

D.$${{9}{0}^{∘}}$$

7、['空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '空间向量的夹角'， '命题的真假性判断']

正确率40.0%下列说法中正确的个数是（）
$${（{1}{）}}$$平面$${{α}}$$与平面$${{β}{，}{γ}}$$都相交，则这三个平面有$${{2}}$$条或$${{3}}$$条交线
$${（{2}{）}}$$如果平面$${{α}}$$外有两点$${{A}{，}{B}}$$到平面$${{α}}$$的距离相等，则直线$${{A}{B}{/}{/}{α}}$$
$${（{3}{）}}$$直线$${{a}}$$不平行于平面$${{α}{，}}$$则$${{a}}$$不平行于$${{α}}$$内任何一条直线

A.$${{0}}$$个

B.$${{1}}$$个

C.$${{2}}$$个

D.$${{3}}$$个

8、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角']

正确率60.0%正方体$${{A}{B}{C}{D}{—}{{A}^{′}}{{B}^{′}}{{C}^{′}}{{D}^{′}}}$$中，向量$$\overrightarrow{A^{\prime} B}$$与$$\overrightarrow{B^{\prime} D^{\prime}}$$的夹角$${{=}{(}{)}}$$

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{9}{0}^{∘}}$$

D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$

9、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角']

正确率60.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，点$${{M}}$$是线段$${{A}{B}}$$的中点，线段$${{B}_{1}{C}}$$与线段$${{B}{{C}_{1}}}$$交于点$${{O}}$$，则直线$${{A}_{1}{M}}$$与直线$${{D}{O}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{4}{5}^{∘}}$$

C.$${{6}{0}^{∘}}$$

D.$${{9}{0}^{∘}}$$

10、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率60.0%长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{B}{=}{2}{，}{A}{D}{=}{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，则二面角$${{C}_{1}{−}{A}{B}{−}{C}}$$的大小为

A.$$\frac{\pi} {4}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{3 \pi} {4}$$

1. 解析：

由于 $$OB = OC$$ 且 $$\angle AOB = \angle AOC = \frac{\pi}{3}$$，可以设坐标系使 $$O$$ 为原点，$$OA$$ 沿 $$x$$ 轴方向，$$OB$$ 和 $$OC$$ 在 $$xy$$ 平面内对称分布。设 $$OA = a$$，则 $$\overrightarrow{OA} = (a, 0, 0)$$，$$\overrightarrow{OB} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$\overrightarrow{OC} = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$。因此，$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (0, -a\sqrt{3}, 0)$$。

计算 $$\langle \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{BC} \rangle$$ 的夹角正弦值：由于 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$，说明两向量垂直，故 $$\sin \langle \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{BC} \rangle = 1$$。

答案：$$A$$

2. 解析：

首先求平面 $$ABC$$ 的法向量 $$\overrightarrow{n}$$。由于 $$\overrightarrow{AB} = (1, 3, -2)$$ 和 $$\overrightarrow{BC} = (3, 1, -2)$$，法向量为它们的叉积：$$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = (-4, -4, -8)$$，可简化为 $$(1, 1, 2)$$。

计算 $$\overrightarrow{BP} = (-1, 0, 2)$$ 与 $$\overrightarrow{n}$$ 的夹角余弦：$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{BP}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{10}$$。

答案：$$A$$

3. 解析：

由 $$a + b + c = 0$$，得 $$c = -a - b$$。两边平方得 $$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos \theta$$，代入数值 $$16 = 4 + 9 + 12\cos \theta$$，解得 $$\cos \theta = \frac{1}{4}$$，故 $$\theta$$ 不是特殊角。

答案：$$D$$

4. 解析：

由 $$\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \rangle = \frac{\pi}{3}$$，得 $$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$$。计算 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 6$$，$$|\overrightarrow{a}| = 2\sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{5 + z^2}$$，代入得 $$\frac{6}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5 + z^2}} = \frac{1}{2}$$，解得 $$z = \pm \sqrt{13}$$。

答案：$$D$$

5. 解析：

设 $$a$$ 与 $$b$$ 的夹角为 $$\theta$$。由 $$AC \perp b$$ 和 $$BD \perp b$$，得 $$AC$$ 和 $$BD$$ 为 $$a$$ 上两点到 $$b$$ 的垂线。利用向量法，$$\cos \theta = \frac{CD}{AB} = \frac{1}{2}$$，故 $$\theta = 60^\circ$$。

答案：$$C$$

6. 解析：

计算 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2$$，$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2\sqrt{2}$$，故 $$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$，$$\theta = 60^\circ$$。

答案：$$C$$

7. 解析：

(1) 错误，平面交线可能为 1 条（三平面共线时）；(2) 错误，两点可能在平面两侧；(3) 错误，直线 $$a$$ 可能与平面内某条直线平行。

答案：$$A$$

8. 解析：

设正方体边长为 1，建立坐标系计算 $$\overrightarrow{A'B} = (1, 0, -1)$$，$$\overrightarrow{B'D'} = (-1, 1, 0)$$，点积为 $$-1$$，模均为 $$\sqrt{2}$$，故 $$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$，$$\theta = 120^\circ$$。

答案：$$D$$

9. 解析：

建立坐标系计算向量 $$\overrightarrow{A_1M} = (1, 0.5, -1)$$，$$\overrightarrow{DO} = (0.5, 1, 1)$$，点积为 0，故夹角为 $$90^\circ$$。

答案：$$D$$

10. 解析：

设 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,1,0)$$，$$C_1(2,1,1)$$。法向量 $$\overrightarrow{AB} = (2,0,0)$$，$$\overrightarrow{BC} = (0,1,0)$$，$$\overrightarrow{BC_1} = (0,1,1)$$。二面角的余弦为 $$\frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，故角度为 $$\frac{\pi}{4}$$。

答案：$$A$$

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