空间向量的数量积-1.1 空间向量及其运算知识点课后基础自测题答案-四川省等高一数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['共面向量定理'， '共线向量基本定理'， '空间向量的数量积']

正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 4 )$$，$$\overrightarrow{b}=( x， y，-8 )$$，若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则$$x+y=( \eta)$$

A.$${{−}{6}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{6}}$$

2、['向量加法的运算律'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '判断三角形的形状'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']

正确率40.0%$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$是空间不共面的四点，且满足$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=0， \， \ \overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{A D}=0， \， \ \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A D}=0， \， \ M$$为$${{B}{C}}$$的中点，则$${{△}{A}{M}{D}}$$是$${{(}{)}}$$

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.不确定

3、['共面向量定理'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']

正确率80.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1，-1， 0 )$$，$$\vec{b}=( 1， 0， 1 )$$，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$

A.$$| \overrightarrow{a} |=2$$

B.$$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=( 0，-1， 2 )$$

C.$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$

D.$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影向量为$$( \frac{1} {2}， 0， \frac{1} {2} )$$

4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '与圆有关的最值问题']

正确率60.0%已知点$${{P}}$$是棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的底面$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$上一点(包括边界)，则$$\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P D}$$的最大值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

5、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']

正确率60.0%平行六面体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，$$A B=4， ~ ~ A D=3，$$$$A A^{\prime}=5，$$$${{∠}{B}{A}{D}}$$$$= 9 0^{\circ} \，， \， \， \angle B A A^{\prime}$$$$= \angle D A A^{\prime}$$$${{=}{{6}{0}^{∘}}{，}}$$则$${{A}{{C}^{′}}}$$的长为（）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${\sqrt {{8}{5}}}$$

C.$${\sqrt {{6}{1}}}$$

D.$${\sqrt {{7}{0}}}$$

6、['空间向量的数量积']

正确率60.0%svg异常

A.$$2 \overrightarrow{B A} \cdot\overrightarrow{A C}$$

B.$$2 \overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{D B}$$

C.$$2 \overrightarrow{F G} \cdot\overrightarrow{A C}$$

D.$$2 \overrightarrow{E F} \cdot\overrightarrow{C B}$$

7、['空间向量的数量积']

正确率80.0%已知两个向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 1 )$$，$$\overrightarrow{b}=( 2， m， 2 )$$，若$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，则$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{8}}$$

8、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%若点$${{D}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$所在的平面外，$$( \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}+2 \overrightarrow{A D} ) \cdot( \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} )=0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）

A.直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等腰三角形

D.无法确定

9、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']

正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{2}， \operatorname{l g} 2， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2 \sqrt{2}， 1， \operatorname{l g} 5 )，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=($$）

A.$${{5}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}{+}{{l}{g}}{7}}$$

D.$${{6}}$$

10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']

正确率60.0%若$$\vec{a} \，=( 2，-3， 1 )， \vec{b} \，=( 2， 0， 3 )， \vec{c} \，=( 0， 2， 2 ).$$则$$\vec{a} \bullet\vec{( b}+\vec{c} )=($$）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

1. 由于向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$平行，存在实数$$k$$使得$$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$$。因此：

$$x = 2k, \quad y = -k, \quad -8 = 4k$$ 解得$$k = -2$$，代入得$$x = -4$$，$$y = 2$$，所以$$x + y = -2$$。正确答案为$$\boxed{B}$$。

2. 由题意，$$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AC}$$、$$\overrightarrow{AD}$$两两垂直。设$$A$$为原点，建立坐标系：

$$\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (0, b, 0), \quad \overrightarrow{AD} = (0, 0, c)$$ $$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0\right)$$ $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$$，故$$∠AMD$$为直角。答案为$$\boxed{C}$$。

3. 逐项分析：

A. $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$，错误。
B. $$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 \times 1 - 1, 2 \times (-1) - 0, 2 \times 0 - 1) = (1, -2, -1)$$，错误。
C. $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 1 + (-1) \times 0 + 0 \times 1 = 1 \neq 0$$，不垂直，错误。
D. 投影向量为$$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2} \overrightarrow{b} = \frac{1}{2}(1, 0, 1) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)$$，正确。
答案为$$\boxed{D}$$。

4. 设$$P$$在底面$$A_1B_1C_1D_1$$上，坐标为$$(x, y, 0)$$，$$0 \leq x, y \leq 1$$。则：

$$\overrightarrow{PB} = (1 - x, -y, 1), \quad \overrightarrow{PD} = (-x, 1 - y, 1)$$ $$\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PD} = (1 - x)(-x) + (-y)(1 - y) + 1 \times 1 = x^2 - x + y^2 - y + 1$$ 最大值在边界点$$(0, 0)$$或$$(1, 1)$$处取得，均为$$1$$。答案为$$\boxed{C}$$。

5. 计算$$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$$，模长为：

$$|\overrightarrow{AC'}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AA'}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA'}$$ $$= 16 + 9 + 25 + 0 + 2 \times 4 \times 5 \times \cos 60^\circ + 2 \times 3 \times 5 \times \cos 60^\circ$$ $$= 50 + 20 + 15 = 85$$ 故$$|\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{85}$$，答案为$$\boxed{B}$$。

7. 由$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$得：

$$1 \times 2 + 2 \times m + 1 \times 2 = 0 \Rightarrow 2 + 2m + 2 = 0 \Rightarrow m = -2$$ 答案为$$\boxed{B}$$。

8. 设$$D$$为原点，条件化为：

$$(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{A}) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) = 0$$ 展开得$$|\overrightarrow{B}|^2 - |\overrightarrow{C}|^2 - 2\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C} = 0$$，即$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$$，故为等腰三角形。答案为$$\boxed{C}$$。

9. 计算点积：

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} + \lg 2 \times 1 + 1 \times \lg 5 = 4 + \lg 2 + \lg 5 = 4 + \lg 10 = 5$$ 答案为$$\boxed{A}$$。

10. 先计算$$\vec{b} + \vec{c} = (2, 2, 5)$$，再点积：

$$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 2 \times 2 + (-3) \times 2 + 1 \times 5 = 4 - 6 + 5 = 3$$ 答案为$$\boxed{B}$$。

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