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正确率40.0%当动点$${{P}}$$在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的体对角线$${{A}_{1}{C}}$$上运动时，异面直线$${{B}{P}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成角的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {3} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} )$$
2、['向量的模'， '数量积的运算律'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 3， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-1， 1， 0 )，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为 （）
C
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '向量的模'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$A \left( 1， 0， 0 \right)， B \left( 0，-1， 1 \right)， \， \， \， \overrightarrow{O A}+\lambda\overrightarrow{O B}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$${{λ}}$$的值为（）
D
A.$${{±}{\sqrt {6}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{6}} {6}$$
D.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$
4、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \enskip0， \enskip2 )， \enskip\boldsymbol{b}=( x， \enskip2， \enskip2 )，$$且$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=6，$$则向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
5、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%已知两条异面直线的方向向量分别是$$\boldsymbol{u}=( 3， ~-1， ~ 2 )， ~ v=( 3， ~-2， ~-1 )，$$则这两条异面直线所成的角$${{θ}}$$满足（）
C
A.$$\mathrm{s i n} \theta=\frac{9} {1 4}$$
B.$$\mathrm{s i n} \theta=\frac{1} {4}$$
C.$$\mathrm{c o s} \theta=\frac{9} {1 4}$$
D.$$\mathrm{c o s} \theta=\frac{1} {4}$$
6、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知$$A ( 2 \cdot\enskip5， 1 )， \ B ( 2 \cdot\enskip2， 4 )$$，$$C ( 1， ~-4， 1 )，$$则$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
7、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%已知正四面体$$A-B C D$$的棱长为$$a， ~ E， ~ F$$分别是$$B C， ~ A D$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A F}$$的值为（）
B
A.$${{a}^{2}}$$
B.$$\frac{1} {4} a^{2}$$
C.$$\frac{1} {2} a^{2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} 4 a^{2}$$
8、['空间向量的夹角']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$的棱长为$${{a}}$$，设$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \， \， \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{b}， \， \， \overrightarrow{A A^{\prime}}=\overrightarrow{c}，$$则$$< \overrightarrow{A^{\prime} B}， \ \overrightarrow{B^{\prime} D^{\prime}} >$$等于（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
9、['二面角'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知二面角$$\alpha-l-\beta，$$其中平面$${{α}}$$的一个法向量$$\overrightarrow{m}=( 1， ~ 0， ~-1 )，$$平面$${{β}}$$的一个法向量$$\overrightarrow{n}=( 0， ~-1， ~ 1 )，$$则二面角$$\alpha-l-\beta$$的大小可能为（）
C
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$或$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
10、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 2， 1 )， \， \overrightarrow{b}=(-1， 1，-2 )，$$则 $${{a}^{→}}$$与 $${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$${{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{8}{0}^{∘}}$$
1. 首先建立坐标系，设正方体边长为1，点A在原点，AD沿x轴，AB沿y轴，AA1沿z轴。点P在A1C上运动，参数化P的坐标为$$(t, t, 1-t)$$。向量BP=$$(t, t+1, -t)$$，向量AD1=$$(1, 0, 1)$$。计算两向量的夹角余弦为$$\frac{t}{\sqrt{2t^2+2t+1}}$$。分析极值可得夹角范围为$$[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$，故选B。
3. 向量OA=$$(1,0,0)$$，OB=$$(0,-1,1)$$。OA+λOB=$$(1,-λ,λ)$$。根据夹角120°的条件，有$$\frac{1*0+(-λ)*(-1)+λ*1}{\sqrt{1+2λ^2}*\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$$。解得λ=$$-\frac{\sqrt{6}}{6}$$，选D。
5. 计算向量u和v的点积：$$9+2-2=9$$。u的模为$$\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$$，v的模为$$\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$$。夹角余弦为$$\frac{9}{14}$$，由于是异面直线，取锐角，所以cosθ=$$\frac{9}{14}$$，选C。
7. 建立坐标系，设A=$$(0,0,0)$$，B=$$(a,0,0)$$，C=$$(a/2,a\sqrt{3}/2,0)$$，D=$$(a/2,a\sqrt{3}/6,a\sqrt{6}/3)$$。E=$$(3a/4,a\sqrt{3}/4,0)$$，F=$$(a/4,a\sqrt{3}/12,a\sqrt{6}/6)$$。向量AE=$$(3a/4,a\sqrt{3}/4,0)$$，AF=$$(a/4,a\sqrt{3}/12,a\sqrt{6}/6)$$。点积为$$\frac{3a^2}{16}+\frac{3a^2}{48}+0=\frac{a^2}{4}$$，选B。
9. 计算法向量m和n的点积：$$0+0-1=-1$$。m的模为$$\sqrt{2}$$，n的模为$$\sqrt{2}$$。夹角余弦为$$-\frac{1}{2}$$，所以夹角为120°。二面角可能是60°或120°，选C。