空间向量共线定理-1.1 空间向量及其运算知识点课后进阶选择题自测题解析-河南省等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1. 解析：

在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$\angle BAC = 120^\circ$$，$$AB = 1$$，$$AC = 2$$，点 $$D$$ 在 $$BC$$ 边上，且 $$\overrightarrow{DC} = \lambda \overrightarrow{BD}$$。我们需要求 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$$ 的最大值。

首先，利用向量分解法：

设 $$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，则 $$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$$。

点 $$D$$ 将 $$BC$$ 分为比例 $$\lambda : 1$$，因此 $$\overrightarrow{AD} = \frac{\vec{b} + \lambda \vec{c}}{1 + \lambda}$$。

计算点积：

$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \left( \frac{\vec{b} + \lambda \vec{c}}{1 + \lambda} \right) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c} - |\vec{b}|^2 + \lambda |\vec{c}|^2 - \lambda \vec{b} \cdot \vec{c}}{1 + \lambda}$$

已知 $$|\vec{b}| = 1$$，$$|\vec{c}| = 2$$，$$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos 120^\circ = -1$$。

代入得：

$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{-1 - 1 + \lambda \cdot 4 - \lambda (-1)}{1 + \lambda} = \frac{-2 + 4\lambda + \lambda}{1 + \lambda} = \frac{5\lambda - 2}{1 + \lambda}$$

化简表达式：

$$\frac{5\lambda - 2}{1 + \lambda} = 5 - \frac{7}{1 + \lambda}$$

当 $$\lambda \geq 0$$ 时，$$\frac{7}{1 + \lambda}$$ 随 $$\lambda$$ 增大而减小，因此表达式在 $$\lambda = 0$$ 时取得最大值 $$5 - 7 = -2$$，但题目要求的是最大值，显然这里需要重新推导。

实际上，当 $$\lambda$$ 趋近于无穷大时，表达式趋近于 5，但 $$\lambda$$ 有限时，最大值出现在 $$\lambda = 2$$ 时：

$$\frac{5 \times 2 - 2}{1 + 2} = \frac{8}{3} \approx 2.666$$

但选项中没有 $$\frac{8}{3}$$，重新检查计算步骤。

正确的推导应为：

$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{5\lambda - 2}{1 + \lambda}$$

求导得极值点：

$$\frac{d}{d\lambda} \left( \frac{5\lambda - 2}{1 + \lambda} \right) = \frac{5(1 + \lambda) - (5\lambda - 2)}{(1 + \lambda)^2} = \frac{7}{(1 + \lambda)^2} > 0$$

因此，函数在 $$\lambda \geq 0$$ 时单调递增，最大值在 $$\lambda \to \infty$$ 时趋近于 5。

但题目中 $$\lambda$$ 为有限值，且 $$D$$ 在 $$BC$$ 上（含端点），当 $$D$$ 与 $$C$$ 重合时，$$\lambda \to \infty$$ 不适用，实际最大值在 $$D$$ 接近 $$C$$ 时取得。

重新考虑几何意义，利用坐标法：

设 $$A$$ 在原点，$$AB$$ 沿 $$x$$-轴，则 $$B(1, 0)$$，$$C(-1, \sqrt{3})$$。

参数化 $$D$$ 的坐标：

$$D = \left( \frac{1 + \lambda (-1)}{1 + \lambda}, \frac{0 + \lambda \sqrt{3}}{1 + \lambda} \right) = \left( \frac{1 - \lambda}{1 + \lambda}, \frac{\lambda \sqrt{3}}{1 + \lambda} \right)$$

计算 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \left( \frac{1 - \lambda}{1 + \lambda}, \frac{\lambda \sqrt{3}}{1 + \lambda} \right) \cdot (-2, \sqrt{3})$$

$$= \frac{(1 - \lambda)(-2) + \lambda \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{1 + \lambda} = \frac{-2 + 2\lambda + 3\lambda}{1 + \lambda} = \frac{5\lambda - 2}{1 + \lambda}$$

与之前一致，函数在 $$\lambda \geq 0$$ 时单调递增，因此最大值在 $$D$$ 与 $$C$$ 重合时取得，但 $$\lambda \to \infty$$ 时极限为 5。

题目选项中有 5，因此正确答案为 D。

2. 解析：

已知向量 $$\overrightarrow{a} = (\lambda + 1, 0, 2\lambda)$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (6, 0, 2)$$ 平行，求 $$\lambda$$ 的值。

两向量平行的条件是存在标量 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b}$$。

因此：

$$\lambda + 1 = 6k$$

$$0 = 0 \cdot k$$（恒成立）

$$2\lambda = 2k$$

由第三式得 $$k = \lambda$$，代入第一式：

$$\lambda + 1 = 6\lambda \Rightarrow 1 = 5\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$$

验证：

当 $$\lambda = \frac{1}{5}$$ 时，$$\overrightarrow{a} = \left( \frac{6}{5}, 0, \frac{2}{5} \right) = \frac{1}{5} \overrightarrow{b}$$，符合平行条件。

因此正确答案为 A。

3. 解析：

从点 $$P(1, 2, 3)$$ 出发，沿向量 $$\boldsymbol{v} = (-4, -1, 8)$$ 的方向取点 $$Q$$，使 $$PQ = 18$$。

首先计算向量 $$\boldsymbol{v}$$ 的单位向量：

$$|\boldsymbol{v}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$$

单位向量为 $$\frac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|} = \left( -\frac{4}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{8}{9} \right)$$

因此，点 $$Q$$ 的坐标为：

$$Q = P \pm 18 \cdot \frac{\boldsymbol{v}}{9} = P \pm 2\boldsymbol{v}$$

即：

$$Q_1 = (1, 2, 3) + 2(-4, -1, 8) = (-7, 0, 19)$$

$$Q_2 = (1, 2, 3) - 2(-4, -1, 8) = (9, 4, -13)$$

因此正确答案为 C。

4. 解析：

点 $$P$$ 在 $$\triangle ABC$$ 内，且 $$\overrightarrow{AP} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$，求 $$\frac{y + 1}{x + 2}$$ 的取值范围。

由于 $$P$$ 在三角形内部，有 $$x > 0$$，$$y > 0$$，且 $$x + y < 1$$。

设 $$k = \frac{y + 1}{x + 2}$$，则 $$y = k(x + 2) - 1$$。

代入 $$x + y < 1$$ 得：

$$x + k(x + 2) - 1 < 1 \Rightarrow (1 + k)x + 2k - 2 < 0$$

由于 $$x > 0$$ 且 $$y > 0$$，需要满足：

$$k(x + 2) - 1 > 0 \Rightarrow k > \frac{1}{x + 2}$$

同时，$$x + y = x + k(x + 2) - 1 < 1$$ 对所有 $$x \in (0, 1)$$ 成立。

当 $$x \to 0^+$$，$$k > \frac{1}{2}$$；当 $$x \to 1^-$$，$$k < 1$$。

因此，$$k \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$$。

正确答案为 B。

5. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

6. 解析：

已知向量 $$\overrightarrow{a} = (1, -1, 1)$$，求与 $$\overrightarrow{a}$$ 共线的单位向量。

单位向量的模为 1，因此：

$$\overrightarrow{n} = \pm \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \pm \frac{(1, -1, 1)}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \pm \left( \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$$

选项中符合的是 $$\overrightarrow{n} = \left( \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$$。

因此正确答案为 D。

7. 解析：

在正四棱柱 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，$$AB = 1$$，$$AA_1 = 2$$，$$P$$ 在侧棱 $$CC_1$$ 上，且 $$CP = m$$，$$\overrightarrow{A_1Q} = \lambda \overrightarrow{A_1C_1}$$，要求 $$D_1Q$$ 在平面 $$APD_1$$ 上的正投影垂直于 $$AP$$。

建立坐标系，设 $$A(0, 0, 0)$$，$$B(1, 0, 0)$$，$$C(1, 1, 0)$$，$$D(0, 1, 0)$$，$$A_1(0, 0, 2)$$，$$C_1(1, 1, 2)$$，$$P(1, 1, m)$$。

$$\overrightarrow{A_1C_1} = (1, 1, 0)$$，因此 $$Q$$ 的坐标为 $$(0, 0, 2) + \lambda(1, 1, 0) = (\lambda, \lambda, 2)$$。

向量 $$\overrightarrow{AP} = (1, 1, m)$$，$$\overrightarrow{D_1Q} = (\lambda, \lambda - 1, 0)$$。

$$D_1Q$$ 在平面 $$APD_1$$ 上的正投影垂直于 $$AP$$，意味着 $$\overrightarrow{D_1Q}$$ 与 $$\overrightarrow{AP}$$ 垂直：

$$\overrightarrow{D_1Q} \cdot \overrightarrow{AP} = \lambda \cdot 1 + (\lambda - 1) \cdot 1 + 0 \cdot m = 2\lambda - 1 = 0$$

解得 $$\lambda = \frac{1}{2}$$。

因此正确答案为 B。

8. 解析：

点 $$O$$ 在直线 $$AB$$ 外，点 $$C$$ 在 $$AB$$ 上，且 $$\overrightarrow{OC} = (x - 1)\overrightarrow{OA} + 3y \overrightarrow{OB}$$，其中 $$x, y > 0$$。

由于 $$C$$ 在 $$AB$$ 上，有 $$(x - 1) + 3y = 1$$，即 $$x + 3y = 2$$。

求 $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$ 的最小值。

利用拉格朗日乘数法或不等式优化：

设 $$x + 3y = 2$$，则：

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$$

由 $$x = 2 - 3y$$，代入得：

$$\frac{2 - 2y}{(2 - 3y)y}$$

求导得极值点 $$y = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$$，此时最小值为 $$4 - 2\sqrt{3}$$。

因此正确答案为 B。

9. 解析：

与向量 $$(-3, -4, 5)$$ 共线的单位向量为：

$$\pm \frac{(-3, -4, 5)}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \pm \frac{(-3, -4, 5)}{\sqrt{50}} = \pm \left( -\frac{3\sqrt{2}}{10}, -\frac{2\sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

因此正确答案为 A。

10. 解析：

命题分析：

① 若 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 共线，它们的有向线段所在直线平行或重合，因此命题不准确。

② 若表示 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 的有向线段所在直线是异面直线，则 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 一定不共面，正确。

③ 若 $$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$$ 两两共面，它们不一定共面，例如三棱锥的三条棱向量。

④ 若 $$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$$ 不共面，则可以作为空间的一组基，任意向量 $$\overrightarrow{p}$$ 可以唯一表示为它们的线性组合，正确。

因此，正确的命题有 ② 和 ④，共 2 个。

正确答案为 C。