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正确率60.0%对于空间任意两个非零向量$${{a}{，}{b}{，}}$$“$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} < \ 0$$”是“$${{⟨}{{a}{，}{b}}{⟩}}$$为钝角”的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['空间向量运算的坐标表示'， '向量的模'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$A \left( 1， 0， 0 \right)， B \left( 0，-1， 1 \right)， \， \， \， \overrightarrow{O A}+\lambda\overrightarrow{O B}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$${{λ}}$$的值为（）
D
A.$${{±}{\sqrt {6}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{6}} {6}$$
D.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$
3、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知｛$$\boldsymbol{i}， \ \boldsymbol{j}， \ \boldsymbol{k}$$｝是空间向量的一组单位正交基底，且$$\overrightarrow{A B}=-i+j-k， \ \overrightarrow{C D}={\bf2 i}+{\bf j}+{\bf k}.$$则$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{C D}$$夹角的正弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 3$$
4、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率80.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}_{1}=( 3， \ 2， \ 1 )，$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}_{2}=( 2， ~ 0， ~-1 )，$$则$${{α}}$$与$${{β}}$$所成角的余弦值是（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$
C.$$- \frac{\sqrt{7 0}} {1 4}$$
D.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 4}$$
5、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 1， n )，$$且$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=3，$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\pi} {6}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {6}$$或$$\frac{5 \pi} {6}$$
7、['空间向量的夹角']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( 1， \lambda， 2 )， \， \overrightarrow{b}=( 2，-1， 2 )，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角余弦为$$\frac{8} {9}，$$则$${{λ}}$$等于（）
A
A.$${{−}{2}}$$或$$\frac{2} {5 5}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}}$$或$$- \frac{2} {5 5}$$
8、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角']正确率60.0%正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，向量$$\overrightarrow{A^{\prime} B}$$与$$\overrightarrow{B^{\prime} D^{\prime}}$$的夹角$${{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
9、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%若$$\overrightarrow{a}=( 1， \lambda， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-1， 2 )，$$且$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{8} {9}，$$则$${{λ}}$$等于（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$或$$\frac{2} {5 5}$$
D.$${{2}}$$或$$- \frac{2} {5 5}$$
10、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 2， 1 )， \， \overrightarrow{b}=(-1， 1，-2 )，$$则 $${{a}^{→}}$$与 $${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$${{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{8}{0}^{∘}}$$
1. 对于空间任意两个非零向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$，$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$$ 说明两向量的夹角为钝角或平角。但题目限定“钝角”，因此 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$$ 是“夹角为钝角”的必要不充分条件（因为平角时也满足 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$$）。答案为 B。
2. 向量 $$\overrightarrow{OA} = (1, 0, 0)$$，$$\overrightarrow{OB} = (0, -1, 1)$$。设 $$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB} = (1, -\lambda, \lambda)$$。根据题意，$$\overrightarrow{v}$$ 与 $$\overrightarrow{OB}$$ 的夹角为 $$120^\circ$$，故有：
$$\cos 120^\circ = \frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{v}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} = \frac{0 + \lambda + \lambda}{\sqrt{1 + \lambda^2 + \lambda^2} \cdot \sqrt{0 + 1 + 1}} = \frac{2\lambda}{\sqrt{1 + 2\lambda^2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$$。
解得 $$\lambda = -\frac{\sqrt{6}}{6}$$。答案为 D。
3. 向量 $$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, -1)$$，$$\overrightarrow{CD} = (2, 1, 1)$$。先计算点积和模长：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -2 + 1 -1 = -2$$，
$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$，
$$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$。
夹角余弦为 $$\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = -\frac{2}{3\sqrt{2}}$$，故正弦为 $$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$。答案为 C。
4. 平面 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 的法向量分别为 $$\boldsymbol{n}_1 = (3, 2, 1)$$ 和 $$\boldsymbol{n}_2 = (2, 0, -1)$$。两平面夹角的余弦为：
$$\cos \theta = \frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|} = \frac{|6 + 0 -1|}{\sqrt{9 + 4 + 1} \cdot \sqrt{4 + 0 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{70}}{14}$$。答案为 D。
5. 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, 0, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, 1, n)$$，且 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$。计算点积：
$$1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot n = 3 \Rightarrow n = 2$$。
夹角的余弦为 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故夹角为 $$\frac{\pi}{6}$$。答案为 A。
7. 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, \lambda, 2)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, -1, 2)$$，且 $$\cos \theta = \frac{8}{9}$$。由点积公式：
$$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{2 - \lambda + 4}{\sqrt{1 + \lambda^2 + 4} \cdot \sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6 - \lambda}{\sqrt{5 + \lambda^2} \cdot 3} = \frac{8}{9}$$。
解得 $$6 - \lambda = \frac{8}{3} \sqrt{5 + \lambda^2}$$，平方整理得 $$55\lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$$，解得 $$\lambda = -2$$ 或 $$\lambda = \frac{2}{55}$$。答案为 D。
8. 在正方体中，设边长为 1。向量 $$\overrightarrow{A'B} = (1, 0, -1)$$，$$\overrightarrow{B'D'} = (-1, 1, 0)$$。点积为 $$\overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{B'D'} = -1 + 0 + 0 = -1$$，模长均为 $$\sqrt{2}$$。夹角的余弦为 $$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$$，故夹角为 $$120^\circ$$。答案为 D。
9. 同第 7 题，答案为 D。
10. 向量 $$\overrightarrow{a} = (0, 2, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1, 1, -2)$$。点积为 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 + 2 - 2 = 0$$，故两向量垂直，夹角为 $$90^\circ$$。答案为 C。