空间向量的线性运算-1.1 空间向量及其运算知识点专题基础选择题自测题答案-云南省等高一数学选择必修,平均正确率82.0%

1、['向量加法的定义及运算法则'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%已知在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为侧面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$的中心.若$$\overrightarrow{A E}=z \overrightarrow{A A_{1}}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$$则$$x+y+z$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{1}{.}{5}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{0}{.}{7}{5}}$$

3、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%在所有棱长都为$${{1}}$$的平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}}$$为$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$与$${{B}_{1}{{D}_{1}}}$$的交点，$$\angle B A D=6 0^{\circ}， \， \， \angle D A A_{1}=\angle B A A_{1}=3 0^{\circ}，$$则$$| \overrightarrow{B M} |=$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$

D.$$\frac{5} {4}$$

7、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']

正确率40.0%在棱长为$${{1}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{E}{，}{F}}$$分别是$$B C， ~ A D$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{C F}$$等于（）

A.$${{0}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{3} {4}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

9、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%一个向量$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{c} \}$$下的坐标为$$( 1， ~ 2， ~ 3 )$$，则$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\vec{a}+\vec{b}， \ \vec{a}-\vec{b}， \ \vec{c} \}$$下的坐标为（）

A.$$(-\frac{3} {2}， ~ \frac{1} {2}， ~ 3 )$$

B.$$( \frac{3} {2}， ~-\frac{1} {2}， ~ 3 )$$

C.$$( \frac{1} {2}， ~-\frac{3} {2}， ~ 3 )$$

D.$$(-\frac{1} {2}， ~ \frac{3} {2}， ~ 3 )$$

1. 解析：

在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = \vec{c}$$。点$$E$$为侧面$$BCC_1B_1$$的中心，其位置可表示为$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{3}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$$。题目给出$$\overrightarrow{AE} = z\vec{c} + x\vec{a} + y\vec{b}$$，对比可得$$x = \frac{3}{2}$$，$$y = 0$$，$$z = \frac{1}{2}$$。因此$$x + y + z = 2$$，选C。

3. 解析：

在平行六面体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = \vec{c}$$。由题意，$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$，且$$\angle BAD = 60^\circ$$，$$\angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 30^\circ$$。点$$M$$为$$A_1C_1$$与$$B_1D_1$$的交点，即中心点，故$$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$。计算其模长：$$|\overrightarrow{BM}|^2 = \frac{1}{4}(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c})$$。由角度关系，$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$$，$$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。代入得$$|\overrightarrow{BM}|^2 = \frac{1}{4}(3 + 1 + 2\sqrt{3}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$，但选项无此结果，重新检查计算。实际上，$$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$，模长平方为$$\frac{1}{4}(1 + 1 + 1 - 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) = \frac{1}{4}(2 + 2\sqrt{3})$$，仍不符。可能题目条件理解有误，但最接近选项为B。

7. 解析：

在正四面体$$ABCD$$中，设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{c}$$。点$$E$$为$$BC$$中点，$$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$；点$$F$$为$$AD$$中点，$$\overrightarrow{CF} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$$。计算点积：$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CF} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{c} - 2\vec{b})$$。由于正四面体棱长为1，$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$$，代入得$$\frac{1}{4}(\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} - 2 \times 1) = \frac{1}{4}(-2) = -\frac{1}{2}$$，选D。

9. 解析：

向量$$\vec{p}$$在基底$$\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$$下的坐标为$$(1, 2, 3)$$，即$$\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$$。要求在基底$$\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}\}$$下的坐标，设$$\vec{p} = x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) + z\vec{c}$$。展开得$$(x + y)\vec{a} + (x - y)\vec{b} + z\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$$。解得$$x + y = 1$$，$$x - y = 2$$，$$z = 3$$。解得$$x = \frac{3}{2}$$，$$y = -\frac{1}{2}$$，$$z = 3$$，坐标为$$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 3)$$，选B。

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