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正确率60.0%已知平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A A_{1}=3， \， \， \， B D=4， \， \， \， \overrightarrow{A D_{1}} \cdot\overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A B_{1}} \cdot\overrightarrow{B C}=5，$$则$$\operatorname{c o s} \langle\overrightarrow{A A_{1}}， \ \overrightarrow{B D} \rangle=$$（）
B
A.$$\frac{5} {1 2}$$
B.$$- \frac{5} {1 2}$$
C.$$\frac{4} {1 5}$$
D.$$- \frac{4} {1 5}$$
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 2 \cdot\ -1， \enskip2 )， \ b=(-4， \enskip2， \enskip x )，$$$${{a}{⊥}{b}{，}}$$则$$| 2 a+b |=$$（）
A
A.$${{9}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
3、['空间向量的线性运算']正确率80.0%已知$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$是空间中互不相同的四个点，则$$\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D B}-\overrightarrow{A C}=$$（）
B
A.$$\overrightarrow{A D}$$
B.$$\overrightarrow{C D}$$
C.$$\overrightarrow{B C}$$
D.$$\overrightarrow{D A}$$
4、['空间向量的线性运算']正确率80.0%svg异常
A.$$\frac1 3 \overrightarrow{a}+\frac1 3 \overrightarrow{b}+\frac1 3 \overrightarrow{c}$$
B.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{a}+\frac{1} {3} \overrightarrow{b}+\frac{1} {3} \overrightarrow{c}$$
C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {6} \overrightarrow{b}+\frac{1} {6} \overrightarrow{c}$$
D.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{a}+\frac{1} {6} \overrightarrow{b}+\frac{1} {6} \overrightarrow{c}$$
5、['空间向量的线性运算']正确率60.0%四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{G}}$$是$${{C}{D}}$$的中点，连接$${{A}{G}}$$，则$${\frac{1} {2}} ( \overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C} )+\overrightarrow{A B}=$$（）
B
A.$$\overrightarrow{C G}$$
B.$$\overrightarrow{A G}$$
C.$$\overrightarrow{B C}$$
D.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{B C}$$
6、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知两个向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 3 )$$，$$\overrightarrow{b}=( 4， m， n )$$，且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则$${{m}{+}{n}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=( 3， 1， 4 )$$，则$$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
A.$$(-4， 2， 7 )$$
B.$$(-4，-2，-7 )$$
C.$$( 4，-2， 7 )$$
D.$$( 4， 2，-7 )$$
8、['空间向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{1} {2} (-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} )$$
B.$$\frac{1} {2} ( \vec{a}+\vec{b}-\vec{c} )$$
C.$$\frac{1} {2} ( \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} )$$
D.$$\frac1 2 (-\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} )$$
9、['空间向量基本定理的应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%设向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$是空间基底，$$x， ~ y， ~ z \in R$$，有下面四个命题：
$${{p}_{1}}$$：若$$x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+z \overrightarrow{c}=0$$，那么$$x=y=z=0$$；
$${{p}_{2}}$$：若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{l}=0， \ \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{l}=0.$$则$$\overrightarrow{l} / / \overrightarrow{c} ;$$
$$p_{3} \colon\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}， \ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}， \ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$也是空间基底；
$${{p}_{4}}$$：若$$\overrightarrow{n_{1}}=x_{1} \overrightarrow{a}+y_{1} \overrightarrow{b}+z_{1} \overrightarrow{c}， \ \overrightarrow{n_{2}}=x_{2} \overrightarrow{a}+y_{2} \overrightarrow{b}+z_{2} \overrightarrow{c}.$$则$$\overrightarrow{n_{1}} \perp\overrightarrow{n_{2}} \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=0.$$
其中真命题为（）
A
A.$${{p}_{1}{，}{{p}_{3}}}$$
B.$${{p}_{1}{，}{{p}_{4}}}$$
C.$${{p}_{2}{，}{{p}_{3}}}$$
D.$${{p}_{2}{，}{{p}_{4}}}$$
10、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$是底面$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的中心，$$\overrightarrow{a}=\frac{1} {2} \overrightarrow{A A_{1}}， \overrightarrow{b}=\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}， \overrightarrow{c}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A D}， \overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+z \overrightarrow{c}$$，则
A
A.$$x=2， y=1， z=\frac{3} {2}$$
B.$$x=1， y=1， z=\frac{1} {2}$$
C.$$x=\frac{1} {2}， y=\frac{1} {2}， z=1$$
D.$$x=\frac{1} {2}， y=\frac{1} {2}， z=\frac{2} {3}$$
1. 解析：
设平行六面体的顶点坐标如下：$$A(0,0,0)$$，$$B(a,0,0)$$，$$C(a,b,0)$$，$$D(0,b,0)$$，$$A_1(0,0,c)$$，$$B_1(a,0,c)$$，$$C_1(a,b,c)$$，$$D_1(0,b,c)$$。
根据题意：
$$AA_1 = 3 \Rightarrow c = 3$$
$$BD = 4 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} = 4 \Rightarrow a^2 + b^2 = 16$$
计算向量点积：
$$\overrightarrow{AD_1} = (0, b, c)$$，$$\overrightarrow{DC} = (a, 0, 0)$$
$$\overrightarrow{AB_1} = (a, 0, c)$$，$$\overrightarrow{BC} = (0, b, 0)$$
代入条件：
$$\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC} = 5 \Rightarrow (0 \cdot a + b \cdot 0 + c \cdot 0) - (a \cdot 0 + 0 \cdot b + c \cdot 0) = 0$$
发现题目条件可能有误，重新理解题意。
设$$\overrightarrow{AA_1} = \vec{u}$$，$$\overrightarrow{AB} = \vec{v}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{w}$$，则$$\overrightarrow{BD} = \vec{w} - \vec{v}$$。
题目条件为：
$$\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC} = 5$$
其中：
$$\overrightarrow{AD_1} = \vec{w} + \vec{u}$$，$$\overrightarrow{DC} = \vec{v}$$
$$\overrightarrow{AB_1} = \vec{v} + \vec{u}$$，$$\overrightarrow{BC} = \vec{w}$$
代入得：
$$(\vec{w} + \vec{u}) \cdot \vec{v} - (\vec{v} + \vec{u}) \cdot \vec{w} = 5$$
展开化简：
$$\vec{w} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{w} - \vec{u} \cdot \vec{w} = 5$$
即：
$$\vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w} = 5$$
$$\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 5$$
注意到$$\overrightarrow{BD} = \vec{w} - \vec{v}$$，所以：
$$\vec{u} \cdot (-\overrightarrow{BD}) = 5 \Rightarrow \vec{u} \cdot \overrightarrow{BD} = -5$$
又$$|\vec{u}| = 3$$，$$|\overrightarrow{BD}| = 4$$，所以：
$$\cos \langle \vec{u}, \overrightarrow{BD} \rangle = \frac{\vec{u} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\vec{u}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{-5}{12}$$
答案为：$$B$$。
2. 解析：
向量$$\vec{a} = (2, -1, 2)$$，$$\vec{b} = (-4, 2, x)$$。
由$$\vec{a} \perp \vec{b}$$，得：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times (-4) + (-1) \times 2 + 2 \times x = 0$$
解得：$$x = 5$$。
计算$$2\vec{a} + \vec{b}$$：
$$2\vec{a} = (4, -2, 4)$$
$$2\vec{a} + \vec{b} = (4 - 4, -2 + 2, 4 + 5) = (0, 0, 9)$$
模长为：$$|2\vec{a} + \vec{b}| = 9$$。
答案为：$$A$$。
3. 解析：
计算向量表达式：
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})$$
化简得：
$$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$$
重新理解题意，直接计算：
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$
进一步化简：
$$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$$
题目可能有误，重新理解：
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}$$
答案为：$$B$$。
5. 解析：
设四面体$$ABCD$$中，$$G$$是$$CD$$的中点。
计算表达式：
$$\frac{1}{2} (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB}$$
注意到$$\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} = 2 \overrightarrow{BG}$$（因为$$G$$是$$CD$$的中点），所以：
$$\frac{1}{2} \times 2 \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG}$$
答案为：$$B$$。
6. 解析：
向量$$\vec{a} = (2, -1, 3)$$，$$\vec{b} = (4, m, n)$$，且$$\vec{a} \parallel \vec{b}$$。
存在实数$$k$$，使得$$\vec{b} = k \vec{a}$$，即：
$$4 = 2k$$，$$m = -k$$，$$n = 3k$$
解得：$$k = 2$$，$$m = -2$$，$$n = 6$$。
所以$$m + n = 4$$。
答案为：$$C$$。
7. 解析：
向量$$\vec{a} = (2, 0, 1)$$，$$\vec{b} = (3, 1, 4)$$。
计算$$\vec{a} - 2\vec{b}$$：
$$2\vec{b} = (6, 2, 8)$$
$$\vec{a} - 2\vec{b} = (2 - 6, 0 - 2, 1 - 8) = (-4, -2, -7)$$
答案为：$$B$$。
9. 解析：
分析各命题：
$$p_1$$：正确，因为$$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$是基底，线性无关。
$$p_2$$：错误，$$\vec{l}$$可能与$$\vec{c}$$平行或为零向量。
$$p_3$$：正确，三个向量的线性组合可以表示空间中的任意向量。
$$p_4$$：错误，正交的条件需要内积为零，但前提是基底正交。
答案为：$$A$$。
10. 解析：
设正方体边长为1，坐标系如下：
$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$。
$$E$$是底面$$A_1B_1C_1D_1$$的中心，坐标为$$(0.5, 0.5, 1)$$。
向量$$\vec{a} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} = (0, 0, 0.5)$$，$$\vec{b} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = (0.5, 0, 0)$$，$$\vec{c} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = (0, \frac{1}{3}, 0)$$。
$$\overrightarrow{AE} = (0.5, 0.5, 1)$$。
设$$\overrightarrow{AE} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$$，则：
$$x \times 0 + y \times 0.5 + z \times 0 = 0.5$$
$$x \times 0 + y \times 0 + z \times \frac{1}{3} = 0.5$$
$$x \times 0.5 + y \times 0 + z \times 0 = 1$$
解得：$$x = 2$$，$$y = 1$$，$$z = \frac{3}{2}$$。
答案为：$$A$$。