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正确率60.0%已知两条异面直线的方向向量分别是$$\boldsymbol{u}=( 3， ~-1， ~ 2 )， ~ v=( 3， ~-2， ~-1 )，$$则这两条异面直线所成的角$${{θ}}$$满足（）
C
A.$$\mathrm{s i n} \theta=\frac{9} {1 4}$$
B.$$\mathrm{s i n} \theta=\frac{1} {4}$$
C.$$\mathrm{c o s} \theta=\frac{9} {1 4}$$
D.$$\mathrm{c o s} \theta=\frac{1} {4}$$
2、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%设$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$是空间不共面的四个点，且满足$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=0， \， \， \， \overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A C}=0，$$$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A B}=0，$$则$${{△}{B}{C}{D}}$$的形状是（）
C
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.无法确定
3、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{B}{D}{/}{/}}$$平面$${{C}{{B}_{1}}{{D}_{1}}}$$
B.$$A C_{1} \perp B D$$
C.$${{A}{{C}_{1}}{⊥}}$$平面$${{C}{{B}_{1}}{{D}_{1}}}$$
D.向量$$\overrightarrow{A D}$$与$$\overrightarrow{C B_{1}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '用空间向量判断两直线为异面直线'， '空间向量的数量积']正确率60.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$辽阳期末]已知正三棱锥$$A-P B C$$的侧棱$$A P， \， A B， \， A C$$两两垂直$${，{D}{，}{E}}$$分别为棱$$P A， B C$$的中点，则异面直线$${{P}{C}}$$与$${{D}{E}}$$所成角的余弦值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
5、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角']正确率60.0%正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，向量$$\overrightarrow{A^{\prime} B}$$与$$\overrightarrow{B^{\prime} D^{\prime}}$$的夹角$${{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
6、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%若$$\overrightarrow{a}=( 1， \lambda， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-1， 2 )，$$且$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{8} {9}，$$则$${{λ}}$$等于（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$或$$\frac{2} {5 5}$$
D.$${{2}}$$或$$- \frac{2} {5 5}$$
7、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-4， 2， t )$$的夹角为钝角，则实数$${{t}}$$的取值范围为
D
A.$$(-\infty，-6 )$$
B.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( {\frac{1 0} {3}}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-6 ) \cup(-6， \frac{1 0} {3} )$$
8、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( x， 4， 5 )， \overrightarrow{b}=( 1，-2， 2 )，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{\sqrt{2}} {6}，$$那么$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{-}{3}}$$
C.$${{-}{{1}{1}}}$$
D.$${{3}}$$或$${{-}{{1}{1}}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 2， 1 )， \， \overrightarrow{b}=(-1， 1，-2 )，$$则 $${{a}^{→}}$$与 $${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$${{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{8}{0}^{∘}}$$
10、['空间向量的夹角']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 0， 1 )$$，则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
A
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{3}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
1. 两条异面直线的方向向量为 $$\boldsymbol{u}=(3, -1, 2)$$ 和 $$\boldsymbol{v}=(3, -2, -1)$$。它们的夹角 $$\theta$$ 满足 $$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{v}|}$$。
计算点积：$$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = 3 \times 3 + (-1) \times (-2) + 2 \times (-1) = 9 + 2 - 2 = 9$$。
计算模长：$$|\boldsymbol{u}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$$，$$|\boldsymbol{v}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$$。
因此，$$\cos \theta = \frac{9}{14}$$，选项 C 正确。
2. 由题意，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，说明 $$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AC}$$、$$\overrightarrow{AD}$$ 两两垂直。
因此，$$\triangle BCD$$ 的三边满足勾股定理，是直角三角形，选项 B 正确。
3. 题目不完整，无法解析。
4. 设正三棱锥 $$A-PBC$$ 的侧棱 $$AP = AB = AC = 1$$，建立坐标系，$$A(0,0,0)$$，$$P(1,0,0)$$，$$B(0,1,0)$$，$$C(0,0,1)$$。
中点 $$D\left(\frac{1}{2},0,0\right)$$，$$E\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{PC} = (-1,0,1)$$，$$\overrightarrow{DE} = \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$。
它们的夹角余弦为 $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{PC}| |\overrightarrow{DE}|} = \frac{\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$，选项 D 正确。
5. 设正方体边长为 1，建立坐标系，$$A'(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$B'(1,0,1)$$，$$D'(0,1,1)$$。
向量 $$\overrightarrow{A'B} = (1,0,0)$$，$$\overrightarrow{B'D'} = (-1,1,0)$$。
它们的夹角余弦为 $$\cos \theta = \frac{1 \times (-1) + 0 \times 1 + 0 \times 0}{1 \times \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$，因此 $$\theta = 120^\circ$$，选项 D 正确。
6. 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, \lambda, 2)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, -1, 2)$$，夹角余弦为 $$\frac{8}{9}$$。
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 - \lambda + 4 = 6 - \lambda$$。
模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1 + \lambda^2 + 4} = \sqrt{5 + \lambda^2}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$。
因此，$$\frac{6 - \lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{8}{9}$$，解得 $$\lambda = -2$$ 或 $$\lambda = \frac{2}{55}$$，选项 C 正确。
7. 向量 $$\overrightarrow{a} = (2, -1, 3)$$，$$\overrightarrow{b} = (-4, 2, t)$$ 的夹角为钝角，需满足 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$$ 且不共线。
点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -8 - 2 + 3t = 3t - 10 < 0$$，即 $$t < \frac{10}{3}$$。
排除共线情况：$$\frac{2}{-4} = \frac{-1}{2} = \frac{3}{t}$$，解得 $$t = -6$$。
因此，$$t \in (-\infty, -6) \cup (-6, \frac{10}{3})$$，选项 D 正确。
8. 向量 $$\overrightarrow{a} = (x, 4, 5)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, -2, 2)$$，夹角余弦为 $$\frac{\sqrt{2}}{6}$$。
点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x - 8 + 10 = x + 2$$。
模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + 16 + 25} = \sqrt{x^2 + 41}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$。
因此，$$\frac{x + 2}{3 \sqrt{x^2 + 41}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$，解得 $$x = 3$$ 或 $$x = -11$$，选项 D 正确。
9. 向量 $$\overrightarrow{a} = (0, 2, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1, 1, -2)$$。
点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 + 2 - 2 = 0$$，因此夹角为 $$90^\circ$$，选项 C 正确。
10. 向量 $$\overrightarrow{a} = (0, 1, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, 0, 1)$$。
点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 + 0 + 1 = 1$$。
模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$$。
因此，$$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，$$\theta = 60^\circ$$，选项 A 正确。