空间向量的相关概念-1.1 空间向量及其运算知识点课后基础自测题答案-新疆维吾尔自治区等高一数学选择必修,平均正确率64.0%

正确率80.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，可以构成空间的一个基底的是（）

C

A.$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A C}， \， \， \overrightarrow{A D}$$

B.$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A A_{1}}， \， \， \overrightarrow{A B_{1}}$$

C.$$\overrightarrow{D_{1} A_{1}}， ~ \overrightarrow{D_{1} C_{1}}， ~ \overrightarrow{D_{1} D}$$

D.$$\overrightarrow{A C_{1}}， \， \， \overrightarrow{A_{1} C}， \， \， \overrightarrow{C C_{1}}$$

正确率60.0%下列说法正确的是（）

C

A.任一空间向量与它的相反向量都不相等

B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

正确率80.0%下列说法中正确的是（）

B

A.若$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}{，}}$$则$${{a}{，}{b}}$$的长度相等，方向相同

B.若向量$${{a}}$$是向量$${{b}}$$的相反向量，则$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}}$$

C.若向量$$\overrightarrow{A B}$$与向量$$\overrightarrow{C D}$$是共线向量，则点$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$必在同一条直线上

D.有向线段就是向量，向量就是有向线段

正确率60.0%设$${{x}{，}{y}{∈}{R}{，}}$$向量$${{a}{=}{(}{x}{，}{1}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{1}{，}{y}{，}{1}{)}{，}{c}{=}{(}{2}{，}{−}{4}{，}{2}{)}{，}}$$且$${{a}{⊥}{c}{，}{b}{/}{/}{c}{，}}$$则$${{|}{a}{+}{b}{|}{=}}$$（）

C

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率60.0%设棱长为$${{1}}$$的正方体$${{A}{{C}_{1}}}$$中的$${{8}}$$个顶点构成集合$${{S}}$$，集合$$P=\{\boldsymbol{a} | \boldsymbol{a}=\overrightarrow{P_{1} P_{2}}， \， \， \， P_{1}， \， \， \， P_{2} \in S \}$$，则集合$${{P}}$$中模为$${\sqrt {3}}$$的向量的个数是（）​

D

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{8}}$$

正确率60.0%设$${{{a}_{1}}^{→}{=}{2}{{m}^{→}}{−}{{j}^{→}}{+}{{k}^{→}}{，}{{{a}_{2}}^{→}}{=}{{m}^{→}}{+}{3}{{j}^{→}}{−}{2}{{k}^{→}}{，}{{{a}_{3}}^{→}}{=}{−}{2}{{m}^{→}}{+}{{j}^{→}}{−}{3}{{k}^{→}}{，}{{{a}_{4}}^{→}}{=}{3}{{m}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{+}{5}{{k}^{→}}{，}{(}}$$其中$${{m}^{→}{，}{{j}^{→}}{，}{{k}^{→}}}$$是两两垂直的单位向量$${{)}}$$，若$${{{a}_{4}}^{→}{=}{λ}{{{a}_{1}}^{→}}{+}{μ}{{{a}_{2}}^{→}}{+}{ν}{{{a}_{3}}^{→}}{，}}$$则实数$${{λ}{，}{μ}{，}{ν}}$$的值分别是$${{(}{)}}$$

B

A.$${{1}{，}{−}{2}{，}{−}{3}}$$

B.$${{−}{2}{，}{1}{，}{−}{3}}$$

C.$${{−}{2}{，}{1}{，}{3}}$$

D.$${{−}{1}{，}{2}{，}{3}}$$

正确率60.0%设$${{a}}$$表示向东$${{3}{m}{，}{b}}$$表示向北$${{4}{m}{，}{c}}$$表示向上$${{5}{m}}$$，则$${{(}{)}}$$

A

A.$${{a}{−}{b}{+}{c}}$$表示向东$${{3}{m}}$$，向南$${{4}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$

B.$${{a}{+}{b}{−}{c}}$$表示向东$${{3}{m}}$$，向北$${{4}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$

C.$${{2}{a}{−}{b}{+}{c}}$$表示向东$${{3}{m}}$$，向南$${{4}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$

D.$${{2}{(}{a}{+}{b}{+}{c}{)}}$$表示向东$${{6}{m}}$$，向北$${{8}{m}}$$，向上$${{5}{m}}$$

正确率40.0%在空间直角坐标系$${{O}{−}{x}{y}{z}}$$中，$${{O}}$$为原点，平面$${{x}{O}{z}}$$内有一平面图形$${{α}}$$由曲线$${{z}{=}{\sqrt {{4}{−}{{x}^{2}}}}}$$与$${{x}}$$轴围成，将该图形按空间向量$${{a}^{→}{=}{(}{{x}_{a}}{，}{{y}_{a}}{，}{{z}_{a}}{)}{=}{(}{0}{，}{2}{，}{−}{2}{)}}$$进行平移，平移过程中平面图形$${{α}}$$所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为（）

A

A.$${{4}{π}}$$

B.$${{4}{\sqrt {2}}{π}}$$

C.$${{8}{π}}$$

D.$${{8}{\sqrt {2}}{π}}$$

正确率40.0%已知空间中三点$${{A}{(}{0}{，}{1}{，}{0}{)}}$$，$${{B}{(}{2}{，}{2}{，}{0}{)}}$$，$${{C}{(}{−}{1}{，}{3}{，}{1}{)}}$$，则$${{(}{)}}$$

D

A.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$是共线向量

B.与向量$$\overrightarrow{A B}$$方向相同的单位向量是$$\left( \frac{2 \sqrt{5}} {5}，-\frac{\sqrt{5}} {5}， 0 \right)$$

C.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{B C}$$夹角的余弦值是$$\frac{\sqrt{5 5}} {1 1}$$

D.平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量是$${{(}{1}{，}{−}{2}{，}{5}{)}}$$

1. 在长方体中，构成空间基底的三个向量必须不共面。选项C的三个向量分别沿着三个不同的棱方向，且不共面，因此可以构成基底。

2. 选项A错误，零向量的相反向量是它本身。选项B错误，单位向量的终点构成球面。选项D错误，不相等的向量可能有相同的模。选项C正确，空间向量和平面向量一样不能比较大小。

3. 选项A错误，长度相等不一定方向相同。选项C错误，共线向量可能在平行直线上。选项D错误，向量是有向线段的抽象。选项B正确，相反向量的模相等。

4. 由$$a⊥c$$得$$2x-4+2=0$$，解得$$x=1$$。由$$b∥c$$得$$\frac{1}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{2}$$，解得$$y=-2$$。因此$$a+b=(2,-1,2)$$，模为$$\sqrt{4+1+4}=3$$。

5. 在边长为1的正方体中，模为$$\sqrt{3}$$的向量是空间对角线，共有4条方向，每条方向有2个（正反），共8个。

6. 将向量方程按分量展开： $$3=2λ+μ-2ν$$ $$2=-λ+3μ+ν$$ $$5=λ-2μ-3ν$$ 解得$$λ=-2, μ=1, ν=-3$$。

7. 选项A正确描述了$$a-b+c$$的分量。其他选项描述错误。

8. 曲线$$z=\sqrt{4-x^2}$$表示半圆，平移向量$$(0,2,-2)$$使半圆沿y轴和z轴移动，形成的几何体是斜圆柱，体积等于半圆面积乘以y方向位移：$$\frac{1}{2}π×2^2×2=4π$$。

9. 计算得$$\overrightarrow{AB}=(2,1,0)$$，$$\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)$$，不共线。单位向量为$$(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5},0)$$。$$\cosθ=\frac{-2+2+0}{\sqrt{5}\sqrt{6}}=0$$。法向量通过叉积求得$$(1,-2,5)$$，因此D正确。