空间向量的数量积-空间向量及其运算知识点教师选题基础自测题答案-新疆维吾尔自治区等高一数学选择必修,平均正确率70.0%

1、['向量垂直'， '两条直线垂直'， '空间向量的数量积']

正确率80.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{4}{，}{4}{，}{5}{)}}$$，$${{b}^{→}{=}{(}{−}{7}{，}{x}{，}{y}{)}}$$分别是直线$${{l}_{1}}$$、$${{l}_{2}}$$的方向向量，若$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则下列几组解中可能正确的是$${{(}{)}}$$

A.$${{x}{=}{1}}$$，$${{y}{=}{3}}$$

B.$${{x}{=}{4}}$$，$${{y}{=}{3}}$$

C.$${{x}{=}{2}}$$，$${{y}{=}{4}}$$

D.$${{x}{=}{6}}$$，$${{y}{=}{2}}$$

2、['平面向量的概念'， '向量垂直'， '空间向量的数量积'， '两个向量数量积的几何意义']

正确率60.0%若平面四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$满足$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{D C}， \left( \overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C A} \right) \cdot\overrightarrow{A B}=0，$$则该四边形一定是

A.矩形

B.直角梯形

C.等腰梯形

D.平行四边形

3、['空间向量运算的坐标表示'， '向量的模'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%已知$${{a}{=}{(}{2}{，}{−}{3}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{3}{)}{，}{c}{=}{(}{0}{，}{0}{，}{2}{)}}$$，则下列结论正确的是

A.$${{a}{+}{c}{=}{b}}$$

B.$${{|}{a}{+}{b}{−}{2}{c}{|}{=}{5}}$$

C.$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{+}{c}{|}}$$

D.$${{a}{⋅}{b}{=}{b}{⋅}{c}}$$

4、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的数量积']

正确率60.0%在平行六面体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}^{′}}{{B}^{′}}{{C}^{′}}{{D}^{′}}}$$中，$${{A}{B}{=}{A}{D}{=}{A}{{A}^{′}}{=}{2}{，}}$$$$\angle B A D=\frac{\pi} {2}， \， \， \， \angle B A A^{\prime}=\angle D A A^{\prime}=\frac{\pi} {3}，$$则$${{A}{{C}^{′}}{=}}$$（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

5、['投影向量（投影）'， '空间向量的数量积']

正确率80.0%已知空间向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{−}{3}{)}}$$，则向量$${{a}^{→}}$$在坐标平面$${{O}{x}{y}}$$上的投影向量是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{0}{，}{2}{，}{3}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{2}{，}{−}{3}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{2}{，}{0}{)}}$$

D.$${{(}{1}{，}{2}{，}{−}{3}{)}}$$

6、['投影向量（投影）'， '空间向量的数量积']

正确率80.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{3}{，}{0}{，}{4}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{−}{3}{，}{2}{，}{5}{)}}$$，则向量$${{a}^{→}}$$在向量$${{b}^{→}}$$上的投影向量是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 1} {2 5} ( 3， 0， 4 )$$

B.$$\frac{1 1} {3 8} ( 3， 0， 4 )$$

C.$$\frac{1 1} {2 5} (-3， 2， 5 )$$

D.$$\frac{1 1} {3 8} (-3， 2， 5 )$$

7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']

正确率60.0%已知$$A ( 1， 0， 0 )， \， \， \， B ( 0，-1， 1 )， \， \， \， \overrightarrow{O A}+\lambda\overrightarrow{O B}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，则$${{λ}}$$的值为（）

A.$$\pm\frac{\sqrt{6}} {6}$$

B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$

C.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$

D.$${{±}{\sqrt {6}}}$$

8、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量的数量积']

正确率60.0%已知空间向量$${{a}{⃗}{=}{(}{1}{，}{1}{，}{0}{)}{，}{{b}^{⃗}}{=}{(}{−}{1}{，}{0}{，}{2}{)}{，}}$$且$${{k}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}}$$与$${{2}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}}$$互相垂直，则实数$${{k}}$$的值是（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {5}$$

C.$$\frac{3} {5}$$

D.$$\frac{7} {5}$$

9、['空间向量的数量积'， '平面的法向量及其应用']

正确率80.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量为$${{(}{1}{，}{2}{，}{3}{)}}$$，平面$${{α}}$$的法向量为$${{(}{2}{，}{m}{，}{6}{)}}$$，若$${{l}{⊥}{α}}$$，则$${{m}{=}{(}{)}}$$

A.$${{−}{{1}{0}}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

10、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']

正确率80.0%长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，若$$\overrightarrow{A B}=3 i$$，$$\overrightarrow{A D}=2 j$$，$$\overrightarrow{A A_{1}}=5 k$$，则$$\overrightarrow{A C_{1}}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{i}^{→}{+}{{j}^{→}}{+}{{k}^{→}}}$$

B.$$\frac{1} {3} \vec{i}+\frac{1} {2} \vec{j}+\frac{1} {5} \vec{k}$$

C.$${{3}{{i}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{+}{5}{{k}^{→}}}$$

D.$${{3}{{i}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{−}{5}{{k}^{→}}}$$

1. 由于$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，方向向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的点积为0。计算得：$$4 \times (-7) + 4x + 5y = 0$$，即$$4x + 5y = 28$$。将选项代入验证：

A. $$4 \times 1 + 5 \times 3 = 19 \neq 28$$

B. $$4 \times 4 + 5 \times 3 = 31 \neq 28$$

C. $$4 \times 2 + 5 \times 4 = 28$$ 符合

D. $$4 \times 6 + 5 \times 2 = 34 \neq 28$$

正确答案为 C。

2. 由$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{D C}$$知$$AB \parallel DC$$且$$AB = 2DC$$。由$$\left( \overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C A} \right) \cdot\overrightarrow{A B}=0$$得$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，即$$AD \perp AB$$。因此四边形为直角梯形，选 B。

3. 计算各选项：

A. $$a + c = (2, -3, 3) \neq b$$

B. $$a + b - 2c = (4, -3, 0)$$，模长为$$\sqrt{16 + 9} = 5$$，正确

C. $$|a| = \sqrt{14}$$，$$|b + c| = \sqrt{4 + 0 + 25} = \sqrt{29} \neq \sqrt{14}$$

D. $$a \cdot b = 4 + 0 + 3 = 7$$，$$b \cdot c = 0 + 0 + 6 = 6 \neq 7$$

正确答案为 B。

4. 设$$\overrightarrow{AB} = \vec{i}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{j}$$，$$\overrightarrow{AA'} = \vec{k}$$。由题意得：

$$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$

计算模长：$$|\overrightarrow{AC'}|^2 = |\vec{i}|^2 + |\vec{j}|^2 + |\vec{k}|^2 + 2\vec{i} \cdot \vec{j} + 2\vec{i} \cdot \vec{k} + 2\vec{j} \cdot \vec{k}$$

代入已知条件得：$$4 + 4 + 4 + 0 + 2 \times 2 \times 2 \times \frac{1}{2} + 2 \times 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 20$$

故$$|\overrightarrow{AC'}| = 2\sqrt{5}$$，选 D。

5. 向量在$$Oxy$$平面上的投影向量为$$(1, 2, 0)$$，选 C。

6. 投影向量公式为$$\frac{a \cdot b}{|b|^2} b$$。计算得：

$$a \cdot b = -9 + 0 + 20 = 11$$

$$|b|^2 = 9 + 4 + 25 = 38$$

投影向量为$$\frac{11}{38}(-3, 2, 5)$$，选 D。

7. 设$$\vec{u} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB} = (1, -\lambda, \lambda)$$，$$\vec{v} = \overrightarrow{OB} = (0, -1, 1)$$。由夹角公式：

$$\cos 60^\circ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{\lambda + \lambda}{\sqrt{1 + 2\lambda^2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

解得$$\lambda = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$$，选 A。

8. 由垂直条件得：$$(k a + b) \cdot (2a - b) = 0$$。计算得：

$$(k-1, k, 2) \cdot (3, 2, -2) = 3(k-1) + 2k - 4 = 0$$

解得$$k = \frac{7}{5}$$，选 D。

9. 由于$$l \perp \alpha$$，方向向量与法向量平行，即$$(1, 2, 3) = k(2, m, 6)$$。解得$$k = \frac{1}{2}$$，$$m = 4$$，选 C。

10. $$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = 3i + 2j + 5k$$，选 C。

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