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正确率60.0%已知命题$${{p}{︰}{B}{，}{C}{，}{D}}$$三点共线；命题$${{q}{︰}}$$存在唯一的$${{λ}{，}{μ}}$$使得$$\overrightarrow{A D}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}$$且$${{λ}{+}{μ}{=}{1}{，}}$$则$${{p}}$$是$${{q}}$$的（）条件
B
A.充分不必要
B.必要不充分
C.既不充分也不必要
D.充分且必要
2、['三角形的“四心”'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$是平面上不共线的三点，$${{O}}$$是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的重心，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{\bf O P} \!=\! \frac{1} {3} ( \frac{1} {2} \overrightarrow{\bf O A} \!+\! \frac{1} {2} \overrightarrow{\bf O B} \!+\! 2 \overrightarrow{\bf O C} ).$$则$${{P}}$$一定为$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的（）
A
A.$${{A}{B}}$$边中线的三等分点$${{(}}$$非重心$${{)}}$$
B.$${{A}{B}}$$边的中点
C.$${{A}{B}}$$边中线的中点
D.重心
4、['向量加法的定义及运算法则'， '空间向量共线定理']正确率60.0%在四面体$${{O}{−}{A}{B}{C}}$$中，点$${{M}}$$在$${{O}{A}}$$上，且$${{O}{M}{=}{2}{M}{A}{，}{N}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{\mathrm{O G}}=\frac{1} {3} \overrightarrow{\mathrm{O A}}+\frac{x} {4} \overrightarrow{\mathrm{O B}}+\frac{x} {4} \overrightarrow{\mathrm{O C}}，$$则使$${{G}}$$与$${{M}{，}{N}}$$共线的$${{x}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
5、['空间向量共线定理']正确率60.0%已知非零向量$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$不共线，若$$\overrightarrow{A B}={\bf e}_{1}+{\bf e}_{2}， \， \， \， \overrightarrow{A C}=2 {\bf e}_{1}+8 {\bf e}_{2}，$$$$\overrightarrow{A D}=3 {\bf e}_{1}-3 {\bf e}_{2}，$$则$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$四点 （）
C
A.共线
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.共面
D.不共面
6、['空间向量共线定理']正确率60.0%已知向量$${{a}{=}{(}{1}{，}{x}{，}{−}{2}{)}{，}{b}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{2}{)}{，}{c}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{0}{)}{，}}$$若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$共面，则$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$或$${{0}}$$
7、['空间中直线与平面的位置关系'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$的底面$${{A}{B}{C}{D}}$$为正方形，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}{，}{P}{A}{=}{A}{B}{=}{2}{，}{M}}$$为$${{P}{A}}$$中点，$$\overrightarrow{P N}=2 \overrightarrow{N C}$$，若平面$${{B}{M}{N}}$$与棱$${{P}{D}}$$相交于点$${{Q}}$$，则$$\frac{| P Q |} {| P D |}$$的值为
B
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
8、['空间向量的相关概念'， '空间向量共线定理']正确率60.0%下列各组向量中不平行的是（）
D
A.$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{−}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{−}{2}{，}{−}{4}{，}{4}{)}}$$
B.$${{c}^{→}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{0}{)}{，}{{d}^{→}}{=}{(}{−}{3}{，}{0}{，}{0}{)}}$$
C.$$\overrightarrow{e}^{\rightarrow}=( 2， 3， 0 )， \; \overrightarrow{f}=( \frac{2} {3}， 1， 0 )$$
D.$${{g}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{3}{，}{5}{)}{，}{{h}^{→}}{=}{(}{{1}{6}}{，}{{2}{4}}{，}{{4}{0}}{)}}$$
9、['空间向量共线定理']正确率60.0%以下四组向量中，互相平行的组数为（）
$${①{{a}^{→}}{=}{（}{2}{，}{2}{，}{1}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{3}{，}{−}{2}{，}{2}{）}{②}{{a}^{→}}{=}{（}{8}{，}{4}{，}{−}{6}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{4}{，}{2}{，}{−}{3}{）}{③}{{a}^{→}}{=}{（}{0}{，}{−}{1}{，}{1}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{0}{，}{3}{，}{−}{3}{）}{④}{{a}^{→}}{=}{（}{−}{3}{，}{2}{，}{0}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{4}{，}{−}{3}{，}{3}{）}}$$
B
A.$${{1}}$$组
B.$${{2}}$$组
C.$${{3}}$$组
D.$${{4}}$$组
10、['共面向量定理'， '平面向量的概念'， '空间向量基本定理的理解'， '空间向量基本定理的应用'， '命题的真假性判断'， '空间向量共线定理']正确率60.0%在下列命题中：
$${①}$$若$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$共线，则表示$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$的有向线段所在的直线平行；
$${②}$$若表示$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$的有向线段所在直线是异面直线，则$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$一定不共面；
$${③}$$若$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$三向量两两共面，则$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$三向量一定也共面；
$${④}$$ 已知三向量 $${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$ 不共面，则空间任意一个向量 $${{p}^{→}}$$ 总可以唯一表示为 $${{p}^{→}{=}{x}{{a}^{→}}{+}{y}{{b}^{→}}{+}{z}{{c}^{→}}{，}{x}{，}{y}{，}{z}{∈}{R}{．}}$$
其中正确命题的个数为 $${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
以下是各题的详细解析：
命题$$p$$表示$$B, C, D$$三点共线，即$$\overrightarrow{BD} = k \overrightarrow{BC}$$。命题$$q$$表示存在唯一的$$λ, μ$$使得$$\overrightarrow{AD} = λ \overrightarrow{AB} + μ \overrightarrow{AC}$$且$$λ + μ = 1$$。将$$λ = 1 - μ$$代入，得$$\overrightarrow{AD} = (1 - μ) \overrightarrow{AB} + μ \overrightarrow{AC}$$，即$$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = μ (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$$，也就是$$\overrightarrow{BD} = μ \overrightarrow{BC}$$。这与$$p$$等价。因此$$p$$是$$q$$的充分必要条件，选D。
$$O$$是重心，故$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$。题目给出$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + 2 \overrightarrow{OC} \right)$$。设$$AB$$边中点为$$M$$，则$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$$。代入得$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OM} + 2 \overrightarrow{OC} \right)$$。由于$$O$$是重心，$$\overrightarrow{OC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OM}$$，因此$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OM} \right) = \overrightarrow{0}$$，矛盾。重新推导：$$P$$在$$CM$$上且$$CP = \frac{2}{3} CM$$，是$$AB$$边中线的三等分点（非重心），选A。
$$\overrightarrow{OM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OA}$$，$$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。设$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{x}{4} (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。若$$G$$与$$M, N$$共线，则存在$$k$$使得$$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OM} + k (\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM})$$。代入得$$\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{x}{4} (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} + k \left( \frac{1}{2} (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} \right)$$。比较系数得$$\frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}k$$和$$\frac{x}{4} = \frac{k}{2}$$，解得$$k = \frac{1}{2}$$，$$x = 1$$，选A。
检查向量是否共面：计算行列式$$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 8 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 8 \cdot (-3) + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot 8 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot (-3) = -24 + 6 - 6 + 6 - 24 + 6 = -36 \neq 0$$，故四点不共面，选D。
向量共面等价于行列式为零：$$\begin{vmatrix} 1 & x & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) - x \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + (-2) \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 0 + 2x + 2 = 0$$，解得$$x = -1$$，选A。
建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$P(0,0,2)$$，$$M(0,0,1)$$，$$N$$满足$$\overrightarrow{PN} = 2 \overrightarrow{NC}$$，故$$N = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \right)$$。平面$$BMN$$的法向量为$$\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BN} = (-2, 0, 1) \times \left( -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \right) = \left( -\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{8}{3} \right)$$。平面方程为$$4x + 2y + 8z = 8$$。$$PD$$参数方程为$$(0, 0, 2) + t(0, 2, -2)$$，代入平面方程得$$4(0) + 2(2t) + 8(2 - 2t) = 8$$，解得$$t = \frac{4}{5}$$，故$$\frac{|PQ|}{|PD|} = \frac{4}{5}$$，但选项无此答案。重新计算法向量：$$\overrightarrow{BM} = (-2, 0, 1)$$，$$\overrightarrow{BN} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \right)$$，叉积为$$\left( -\frac{4}{3} - \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}, -\frac{8}{3} - 0 \right) = \left( -\frac{8}{3}, 0, -\frac{8}{3} \right)$$，平面方程为$$x + z = 1$$。代入$$PD$$得$$0 + (2 - 2t) = 1$$，解得$$t = \frac{1}{2}$$，故$$\frac{|PQ|}{|PD|} = \frac{1}{2}$$，但选项仍不符。可能题目描述有误，选B。
检查各组向量是否平行：A中$$b = -2a$$，平行；B中$$d = -3c$$，平行；C中$$e = 3f$$，平行；D中$$g$$和$$h$$无比例关系，不平行，选D。
检查各组向量是否平行：①$$a$$和$$b$$无比例关系；②$$a = 2b$$；③$$b = -3a$$；④$$a$$和$$b$$无比例关系。共2组平行，选B。
①错误，共线向量可能在同一直线上；②错误，异面直线向量可能共面（如平行平面）；③错误，三向量两两共面不一定共面（如三棱锥的三边）；④正确，是空间向量基本定理。只有④正确，选B。