1、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知空间四边形$$O A B C，$$其对角线为$$O B， ~ A C， ~ M， ~ N$$分别是$$O A， ~ C B$$的中点，点$${{G}}$$在$${{M}{N}}$$上，且$$M G=2 G N，$$则（）
C
A.$$\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O C}$$
B.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {2} \overrightarrow{O A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O C}$$
C.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {6} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$
D.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {6} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O C}$$
3、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%如图，在正方形网格中，已知$$A. ~ B. ~ C$$三点不共线，$${{P}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$内一定点，点$${{O}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$外任意一点，则$$\overrightarrow{O P}=$$（）
$$None$$
C
A.$$\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{O A}-3 \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}$$
4、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$的中心为$${{O}{，}}$$则下列说法中正确的有（）
①$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量；
②$$\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}-\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
③$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}+\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
④$$\overrightarrow{O A}^{\prime}-\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量.
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
5、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{E}}$$为上底面$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中心，若$$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A A_{1}}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}，$$则$${{x}{，}{y}}$$的值是$${{(}{)}}$$
D
A.$$x=1， y=1$$
B.$$x=1， y=\frac{1} {2}$$
C.$$x=\frac{1} {2}， y=1$$
D.$$x=\frac{1} {2}， y=\frac{1} {2}$$
6、['共面向量定理'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%下列等式中，使$$M， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面的个数是$${{(}{)}}$$
$$\oplus\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ;$$$$\ ) \overrightarrow{O M}=\frac{1} {5} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{O C} ;$$
$$\odot\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$$;$$\oplus\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$．
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['共面向量定理'， '空间向量的线性运算'， '空间向量共线定理']正确率40.0%在四面体$${{O}{A}{B}{C}}$$中，点$${{M}}$$在$${{O}{A}}$$上，且$$O M=2 M A$$，$${{N}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{x} {4} \overrightarrow{O B}+\frac{x} {4} \overrightarrow{O C}$$，则使$${{G}}$$与$${{M}{、}{N}}$$共线的$${{x}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
8、['空间向量的线性运算']正确率40.0%下列命题中正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{M}}$$，$${{N}}$$是空间中的四点，若$$\overrightarrow{B A}$$，$$\overrightarrow{B M}$$，$$\overrightarrow{B N}$$构成空间基底，则$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{M}}$$，$${{N}}$$共面
B.已知$$\{\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c} \}$$为空间的一个基底，若$$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$$，则$$\{\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{m} \}$$也是空间的基底
C.若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{e}=( 2， 0， 3 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， 0， \frac{4} {3} )$$，则直线$${{l}{/}{/}{α}}$$
D.若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{e}=( 2， 0， 3 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， 0， 3 )$$，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$所成角的正弦值为$$\frac{1 2} {1 3}$$
9、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$\overrightarrow{A_{1} E}=\frac{1} {4} \overrightarrow{A_{1} C_{1}}$$，若$$\overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A A_{1}}+y ( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} )$$，则$${{(}{)}}$$
D
A.$$x=\frac{1} {2}， y=\frac{1} {2}$$
B.$$x=\frac{1} {2}， y=1$$
C.$$x=1， y=\frac{1} {3}$$
D.$$x=1， y=\frac{1} {4}$$
10、['空间向量的线性运算']正确率80.0%在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$\overrightarrow{A_{1} B}$$可用$$\overrightarrow{C A}$$，$$\overrightarrow{C B}$$，$$\overrightarrow{C C_{1}}$$表示为$${{(}{)}}$$
A.$$\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C C_{1}}$$
B.$$\overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C C_{1}}$$
C.$$- \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C C_{1}}$$
D.$$- \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C C_{1}}$$
1. 题目解析：
首先，根据题目描述，空间四边形$$OABC$$的对角线为$$OB$$和$$AC$$，点$$M$$和$$N$$分别是$$OA$$和$$CB$$的中点，点$$G$$在$$MN$$上且满足$$MG=2GN$$。我们需要求向量$$\overrightarrow{OG}$$的表达式。
步骤1：确定向量$$\overrightarrow{OM}$$和$$\overrightarrow{ON}$$。由于$$M$$是$$OA$$的中点，$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$$。$$N$$是$$CB$$的中点，$$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。
步骤2：根据分点公式，点$$G$$在$$MN$$上且$$MG=2GN$$，因此$$\overrightarrow{OG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{ON} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OM}$$。
步骤3：代入$$\overrightarrow{OM}$$和$$\overrightarrow{ON}$$的表达式，得到$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$$。但题目选项中没有完全匹配的答案，最接近的是选项C：$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$$，可能是题目描述有误或选项设置问题。
3. 题目解析：
题目描述不完整，缺少图形和具体条件，无法直接解析。通常，平面内点$$P$$的向量表达式可以通过基向量$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AC}$$线性表示，但需要更多信息才能确定具体系数。
4. 题目解析：
在正方体$$ABCD-A'B'C'D'$$中，中心为$$O$$。我们需要判断四个命题的正确性。
命题①：$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB'} - \overrightarrow{OC'}$$，因为$$OA$$和$$OD$$是对角线向量，$$OB'$$和$$OC'$$也是对角线向量，方向相反，故正确。
命题②：$$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB}$$，而$$\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{D'A'}$$，两者方向相反，故正确。
命题③：$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$$与$$\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'}$$均为零向量，因为中心对称，故互为相反向量，正确。
命题④：$$\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AA'}$$，而$$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{C'C}$$，两者方向相反，故正确。
综上，四个命题均正确，答案为D。
5. 题目解析：
在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，点$$E$$为上底面$$A_1C_1$$的中心。根据题意，$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AA_1} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD}$$。
步骤1：确定$$\overrightarrow{AE}$$的表达式。由于$$E$$是$$A_1C_1$$的中心，$$\overrightarrow{A_1E} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_1D_1})$$。
步骤2：将$$\overrightarrow{AE}$$表示为$$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1E}$$，代入得$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$。
因此，$$x = \frac{1}{2}$$，$$y = \frac{1}{2}$$，答案为D。
6. 题目解析：
判断四个等式是否使$$M, A, B, C$$四点共面。
等式①：$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，可以表示为$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，系数和为$$1-1-1=-1 \neq 1$$，不共面。
等式②：$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$$，系数和为$$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \neq 1$$，不共面。
等式③：$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$，说明$$M$$是$$\triangle ABC$$的重心，四点共面。
等式④：$$\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，可以表示为$$\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，系数和为$$-1-1-1=-3 \neq 1$$，不共面。
综上，只有等式③满足共面条件，答案为A。
7. 题目解析：
在四面体$$OABC$$中，点$$M$$在$$OA$$上且$$OM=2MA$$，$$N$$为$$BC$$的中点。向量$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{x}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{x}{4}\overrightarrow{OC}$$。
步骤1：确定$$\overrightarrow{OM}$$和$$\overrightarrow{ON}$$。$$OM=2MA$$，故$$\overrightarrow{OM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$$。$$N$$为$$BC$$的中点，故$$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。
步骤2：$$G$$与$$M, N$$共线，故$$\overrightarrow{OG}$$可以表示为$$\overrightarrow{OG} = \lambda \overrightarrow{OM} + (1-\lambda)\overrightarrow{ON}$$。
步骤3：代入表达式，解得$$\lambda = \frac{1}{2}$$，进一步得到$$x = \frac{4}{3}$$，答案为D。
8. 题目解析：
选项A：若$$\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{BN}$$构成基底，则$$A, B, M, N$$不共面，故错误。
选项B：$$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$$是基底，$$\overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$$，则$$\{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{m}\}$$也是基底，因为$$\overrightarrow{m}$$与$$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$线性无关，故正确。
选项C：直线$$l$$的方向向量$$\overrightarrow{e} = (2, 0, 3)$$，平面$$\alpha$$的法向量$$\overrightarrow{n} = (-2, 0, \frac{4}{3})$$，由于$$\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{n} = -4 + 4 = 0$$，故$$l \parallel \alpha$$或$$l \subset \alpha$$，不一定是平行，故错误。
选项D：方向向量$$\overrightarrow{e} = (2, 0, 3)$$，法向量$$\overrightarrow{n} = (-2, 0, 3)$$，夹角$$\theta$$满足$$\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{e}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{5}{13}$$，故错误。
综上，只有选项B正确，答案为A。
9. 题目解析：
在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$\overrightarrow{A_1E} = \frac{1}{4}\overrightarrow{A_1C_1}$$，求$$\overrightarrow{AE} = x\overrightarrow{AA_1} + y(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$$中的$$x$$和$$y$$。
步骤1：$$\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_1D_1}$$，故$$\overrightarrow{A_1E} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_1D_1})$$。
步骤2：$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1E} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$$。
因此，$$x=1$$，$$y=\frac{1}{4}$$，答案为D。
10. 题目解析：
在直三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$中，求$$\overrightarrow{A_1B}$$用$$\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CC_1}$$表示。
步骤1：$$\overrightarrow{A_1B} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB}$$。
步骤2：$$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_1}$$，$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$$，故$$\overrightarrow{A_1B} = -\overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$$。
因此，$$\overrightarrow{A_1B} = -\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CC_1}$$，答案为D。
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