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正确率60.0%已知命题$$p : ~ B， ~ C， ~ D$$三点共线；命题$${{q}{︰}}$$存在唯一的$${{λ}{，}{μ}}$$使得$$\overrightarrow{A D}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}$$且$$\lambda+\mu=1，$$则$${{p}}$$是$${{q}}$$的（）条件
B
A.充分不必要
B.必要不充分
C.既不充分也不必要
D.充分且必要
2、['共面向量定理'， '充分、必要条件的判定'， '空间向量的数量积'， '空间向量共线定理']正确率40.0%下列说法正确的是（）
B
A.$$| \boldsymbol{a} |-| \boldsymbol{b} | < | \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |$$是向量$${{a}{，}{b}}$$不共线的充要条件
B.在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{B D}=0$$
C.在棱长为$${{1}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=\frac{1} {2}$$
D.设$$A， ~ B， ~ C$$三点不共线$${，{O}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$外一点，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}，$$则$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面
3、['向量加法的定义及运算法则'， '利用基本不等式求最值'， '空间向量共线定理']正确率19.999999999999996%在$${{△}{{A}{B}{C}}}$$中，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{\mathrm{B P}}=2 \overrightarrow{\mathrm{P C}}，$$过点$${{P}}$$的直线与$${{A}{B}{，}{{A}{C}}}$$所在直线分别交于点$${{M}{，}{N}}$$，若$$\overrightarrow{\mathrm{A M}=} m \overrightarrow{\mathrm{A B}}， \ \overrightarrow{\mathrm{A N}=n \mathrm{A C}} ( m > 0， n > 0 ).$$则$${{m}{+}{2}{n}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$\frac{1 0} {3}$$
4、['共线向量基本定理'， '空间向量共线定理']正确率60.0% 已知向量 $${{a}{⃗}}$$ ， $${{b}^{⃗}}$$ ，且 $$\overrightarrow{A B}$$ $${{=}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{+}{2}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ， $$\overrightarrow{B C}$$ $${{=}{−}{5}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{+}{6}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ， $$\overrightarrow{C D}$$ $${{=}{7}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{−}{2}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ，则一定共线的三点是 （）
A
A. $$A， ~ B， ~ D$$
B. $$A， ~ B， ~ C$$
C. $$B， ~ C， ~ D$$
D. $$A， ~ C， ~ D$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=( 4，-1 )， \， \， \， \vec{b}=(-5， 2 )，$$且$$( \vec{a}+\vec{b} ) \; / / ( m \vec{a}-\vec{b} )$$，则实数$${{m}{=}{（}}$$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{7} {5}$$
D.$$- \frac{7} {5}$$
6、['空间向量共线定理']正确率60.0%已知$$\{a， ~ b， ~ c \}$$是空间的一个基底，$$\boldsymbol{m}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}，$$$$\boldsymbol{n}=x ( a-b )+y ( b-c )+4 ( a+c )，$$若$$\boldsymbol{m} / / \boldsymbol{n}，$$则$${{x}{+}{y}{=}}$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-3， 5 )$$与$$\vec{b}=( 4， x， y )$$平行，则$${{x}{，}{y}}$$的值为（）
B
A.$${{6}}$$和$${{−}{{1}{0}}}$$
B.$${{–}{6}}$$和$${{1}{0}}$$
C.$${{–}{6}}$$和$${{−}{{1}{0}}}$$
D.$${{6}}$$和$${{1}{0}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 0， \ 1， \ 1 ) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( 1， \ -2， \ 1 )$$．若向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与向量$$\overrightarrow{c}={\it( m， \ 2， \ n )}$$平行，则实数$${{n}}$$的值是（）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{−}{4}}$$
10、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '空间向量共线定理']正确率60.0%若两条不重合直线$${{l}_{1}}$$和$${{l}_{2}}$$的方向向量分别为$$\overrightarrow{v_{1}}=( 1， 0，-1 )$$，$$\overrightarrow{v_{2}}=(-2， 0， 2 )$$，则$${{l}_{1}}$$和$${{l}_{2}}$$的位置关系是（）
A
A.平行
B.相交
C.垂直
D.不确定
1. 已知命题$$p: B, C, D$$三点共线；命题$$q:$$存在唯一的$$\lambda, \mu$$使得$$\overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}$$且$$\lambda + \mu = 1$$，则$$p$$是$$q$$的（ ）条件。
解析：若$$B, C, D$$共线，则$$\overrightarrow{AD}$$可表示为$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AC}$$的线性组合，且系数和为1，但表示可能不唯一（如$$A$$也在该直线上时）。反之，若存在唯一$$\lambda, \mu$$满足条件，则$$D$$在$$BC$$确定的直线上，即三点共线。但$$p$$推$$q$$时，若$$A$$在直线$$BC$$上，表示不唯一，故$$p$$不是$$q$$的充分条件；而$$q$$可推出$$p$$，是必要条件。因此$$p$$是$$q$$的必要不充分条件。
答案：B
2. 下列说法正确的是（ ）。
A. $$|\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$$是向量$$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$$不共线的充要条件
B. 在空间四边形$$ABCD$$中，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$$
C. 在棱长为$$1$$的正四面体$$ABCD$$中，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}$$
D. 设$$A, B, C$$三点不共线，$$O$$为平面$$ABC$$外一点，若$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$，则$$P, A, B, C$$四点共面
解析：A错误，该不等式是$$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$$不共线的充分条件但不是必要条件；B正确，可验证恒等式；C错误，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos 120^\circ = 1 \times 1 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$$；D错误，系数和$$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1 = 2 \neq 1$$，故点$$P$$不在平面$$ABC$$内。
答案：B
3. 在$$\triangle ABC$$中，点$$P$$满足$$\overrightarrow{BP} = 2 \overrightarrow{PC}$$，过点$$P$$的直线与$$AB, AC$$所在直线分别交于点$$M, N$$，若$$\overrightarrow{AM} = m \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN} = n \overrightarrow{AC} (m > 0, n > 0)$$，则$$m + 2n$$的最小值为（ ）。
解析：由$$\overrightarrow{BP} = 2 \overrightarrow{PC}$$，得$$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC}$$。设$$\overrightarrow{AP} = k \overrightarrow{AM} + (1 - k) \overrightarrow{AN} = k m \overrightarrow{AB} + (1 - k) n \overrightarrow{AC}$$。比较系数：$$k m = \frac{1}{3}$$，$$(1 - k) n = \frac{2}{3}$$。消去$$k$$得$$\frac{1}{3m} + \frac{2}{3n} = 1$$，即$$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = 3$$。由柯西不等式：$$(m + 2n)(\frac{1}{m} + \frac{2}{n}) \geq (1 + 2)^2 = 9$$，代入得$$3(m + 2n) \geq 9$$，即$$m + 2n \geq 3$$，当且仅当$$m = n = 1$$时取等。
答案：A
4. 已知向量$$\vec{a}, \vec{b}$$，且$$\overrightarrow{AB} = \vec{a} + 2 \vec{b}$$，$$\overrightarrow{BC} = -5 \vec{a} + 6 \vec{b}$$，$$\overrightarrow{CD} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$$，则一定共线的三点是（ ）。
解析：计算$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (-5 \vec{a} + 6 \vec{b}) + (7 \vec{a} - 2 \vec{b}) = 2 \vec{a} + 4 \vec{b} = 2(\vec{a} + 2 \vec{b}) = 2 \overrightarrow{AB}$$。故$$\overrightarrow{BD}$$与$$\overrightarrow{AB}$$共线，即$$A, B, D$$三点共线。
答案：A
5. 已知向量$$\vec{a} = (4, -1), \vec{b} = (-5, 2)$$，且$$(\vec{a} + \vec{b}) \parallel (m \vec{a} - \vec{b})$$，则实数$$m =$$（ ）。
解析：$$\vec{a} + \vec{b} = (-1, 1)$$，$$m \vec{a} - \vec{b} = (4m + 5, -m - 2)$$。平行则对应分量成比例：$$\frac{4m + 5}{-1} = \frac{-m - 2}{1}$$，解得$$4m + 5 = m + 2$$，即$$3m = -3$$，$$m = -1$$。
答案：B
6. 已知$$\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$$是空间的一个基底，$$\boldsymbol{m} = 2 \boldsymbol{a} + 3 \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}$$，$$\boldsymbol{n} = x (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) + y (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) + 4 (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c})$$，若$$\boldsymbol{m} \parallel \boldsymbol{n}$$，则$$x + y =$$（ ）。
解析：整理$$\boldsymbol{n} = (x + 4) \boldsymbol{a} + (-x + y) \boldsymbol{b} + (-y + 4) \boldsymbol{c}$$。由$$\boldsymbol{m} \parallel \boldsymbol{n}$$，存在$$k$$使$$\boldsymbol{n} = k \boldsymbol{m}$$，即：
$$x + 4 = 2k$$
$$-x + y = 3k$$
$$-y + 4 = -k$$
解得：$$k = 2$$，$$x = 0$$，$$y = 6$$，故$$x + y = 6$$。
答案：C
7. 已知向量$$\overrightarrow{a} = (2, -3, 5)$$与$$\vec{b} = (4, x, y)$$平行，则$$x, y$$的值为（ ）。
解析：平行则对应分量成比例：$$\frac{4}{2} = \frac{x}{-3} = \frac{y}{5}$$，即$$2 = \frac{x}{-3} = \frac{y}{5}$$，解得$$x = -6$$，$$y = 10$$。
答案：B
9. 已知向量$$\overrightarrow{a} = (0, 1, 1), \overrightarrow{b} = (1, -2, 1)$$。若向量$$\vec{a} + \vec{b}$$与向量$$\overrightarrow{c} = (m, 2, n)$$平行，则实数$$n$$的值是（ ）。
解析：$$\vec{a} + \vec{b} = (1, -1, 2)$$。平行则对应分量成比例：$$\frac{m}{1} = \frac{2}{-1} = \frac{n}{2}$$，得$$m = -2$$，$$n = -4$$。
答案：D
10. 若两条不重合直线$$l_1$$和$$l_2$$的方向向量分别为$$\overrightarrow{v_1} = (1, 0, -1)$$，$$\overrightarrow{v_2} = (-2, 0, 2)$$，则$$l_1$$和$$l_2$$的位置关系是（ ）。
解析：$$\overrightarrow{v_2} = -2 \overrightarrow{v_1}$$，故方向向量共线，即直线平行。
答案：A