空间向量的相关概念-1.1 空间向量及其运算知识点专题基础单选题自测题答案-云南省等高一数学选择必修,平均正确率64.0%

1、已知向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$是平面$$\alpha$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$$\vec{c}$$在直线$$l$$上，则“$$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$$且$$\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$$”是“$$l \perp \alpha$$”的（ ）。

解析：

必要性：若$$l \perp \alpha$$，则$$\vec{c}$$垂直于平面$$\alpha$$，故$$\vec{c}$$垂直于平面内任意向量，包括$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$，因此$$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$$且$$\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$$成立。必要性成立。

充分性：已知$$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$$且$$\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$$。由于$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$是平面$$\alpha$$内两个不共线的非零向量（题设“不相等的非零向量”通常理解为不共线），它们构成平面的一组基。因此，$$\vec{c}$$垂直于平面内的任意向量，从而$$\vec{c} \perp \alpha$$，即$$l \perp \alpha$$。充分性成立。

故为充要条件。

答案：C

2、下列命题正确的是（ ）。

A. 单位向量都相等。错误，单位向量模长相等，但方向可以不同。

B. 若$$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，$$\vec{b} \parallel \vec{c}$$，则$$\vec{a} \parallel \vec{c}$$。错误，若$$\vec{b} = \vec{0}$$，则$$\vec{a}$$与$$\vec{c}$$可能不平行。

C. 若$$\vec{a}$$与$$\vec{b}$$是相反向量，则$$|\vec{a}| = |\vec{b}|$$。正确，相反向量模长相等。

D. $$\vec{a}$$与$$-\lambda \vec{a} (\lambda \in R)$$的方向相反。错误，当$$\lambda < 0$$时，$$-\lambda > 0$$，方向相同。

答案：C

4、给出下列四个说法：

① 若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同。错误，向量相等只需模和方向相同，与起点无关。

② 若空间向量$$\vec{a}, \vec{b}$$满足$$|\vec{a}| = |\vec{b}|$$，则$$\vec{a} = \vec{b}$$。错误，方向可能不同。

③ 在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，必有$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}$$。正确，因为它们是平移关系，模和方向均相同。

④ 若空间向量$$\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}$$满足$$\vec{m} = \vec{n}, \vec{n} = \vec{p}$$，则$$\vec{m} = \vec{p}$$。正确，向量相等具有传递性。

正确说法的个数为2个。

答案：C

6、给出下列命题：

① 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆。错误，构成一个球面。

② 若空间向量$$\vec{a}, \vec{b}$$满足$$|\vec{a}| = |\vec{b}|$$，则$$\vec{a} = \vec{b}$$。错误。

③ 在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，必有$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}$$。正确。

④ 若空间向量$$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$满足$$\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$$，则$$\vec{a} = \vec{c}$$。正确。

⑤ 空间中任意两个单位向量必相等。错误。

正确命题的个数是2个。

答案：B

7、下列各组向量中不平行的是（ ）。

判断向量平行：若$$\vec{u} = k \vec{v}$$（k为标量），则平行。

A. $$\vec{a} = (1, 2, -2)$$, $$\vec{b} = (-2, -4, 4)$$。$$\vec{b} = -2 \vec{a}$$，平行。

B. $$\vec{c} = (1, 0, 0)$$, $$\vec{d} = (-3, 0, 0)$$。$$\vec{d} = -3 \vec{c}$$，平行。

C. $$\vec{e} = (2, 3, 0)$$, $$\vec{f} = (\frac{2}{3}, 1, 0)$$。检查比例：$$2 / (\frac{2}{3}) = 3$$, $$3 / 1 = 3$$, $$0 / 0$$无意义但z分量均为0。存在$$k=3$$使得$$\vec{e} = 3 \vec{f}$$？$$3 \times \frac{2}{3}=2$$, $$3 \times 1=3$$, 成立。故平行。

D. $$\vec{g} = (-2, 3, 5)$$, $$\vec{h} = (16, 24, 40)$$。检查比例：$$16 / (-2) = -8$$, $$24 / 3 = 8$$, 比例不同，故不平行。

答案：D

8、下列说法正确的是（ ）。

A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底。错误，必须是不共面的三个向量。

B. 空间的基底有且仅有一个。错误，基底有无穷多个。

C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底。正确，因为它们线性无关（不共面）。

D. 基底$$\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$$中基向量与基底$$\{\vec{e}, \vec{f}, \vec{g}\}$$基向量对应相等。错误，不同基底的基向量一般不同。

答案：C

9、已知空间中三点$$A(0, 1, 0)$$，$$B(2, 2, 0)$$，$$C(-1, 3, 1)$$，则（ ）。

计算向量：

$$\overrightarrow{AB} = (2-0, 2-1, 0-0) = (2, 1, 0)$$

$$\overrightarrow{AC} = (-1-0, 3-1, 1-0) = (-1, 2, 1)$$

$$\overrightarrow{BC} = (-1-2, 3-2, 1-0) = (-3, 1, 1)$$

A. 判断$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{AC}$$是否共线：不存在标量k使得$$(2,1,0) = k(-1,2,1)$$，因为z分量无法匹配。故不共线。A错误。

B. 与$$\overrightarrow{AB}$$方向相同的单位向量：先求模长$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$$。单位向量为$$\frac{(2,1,0)}{\sqrt{5}} = (\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$$。选项给出的是$$(\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$$，符号错误。B错误。

C. $$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{BC}$$夹角的余弦值：

$$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \times (-3) + 1 \times 1 + 0 \times 1 = -6 + 1 + 0 = -5$$

$$|\vec{AB}| = \sqrt{5}$$, $$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9+1+1} = \sqrt{11}$$

$$\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{5} \times \sqrt{11}} = -\frac{5}{\sqrt{55}} = -\frac{5\sqrt{55}}{55} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$$。选项给出$$\frac{\sqrt{55}}{11}$$，符号错误。C错误。

D. 平面ABC的一个法向量是$$(1, -2, 5)$$。验证法向量与平面内向量点积是否为0。

法向量$$\vec{n} = (1, -2, 5)$$。

$$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 5 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0$$。

$$\vec{n} \cdot \vec{AC} = 1 \times (-1) + (-2) \times 2 + 5 \times 1 = -1 - 4 + 5 = 0$$。

点积均为0，故$$\vec{n}$$与平面内两不共线向量垂直，是法向量。D正确。

答案：D