空间向量共线定理-1.1 空间向量及其运算知识点课后进阶自测题答案-甘肃省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

正确率40.0%已知$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，且满足$$2 \overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}+4 \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$$，记$$\triangle P A B， \triangle P B C， \triangle P A C$$的面积依次为$$S_{1}， S_{2}， S_{3}$$，则$$S_{1} : S_{2} : S_{3}$$等于（）

C

A.$$2 : 3 : 4$$

B.$$3 : 2 : 4$$

C.$$4 : 2 : 3$$

D.$$4 : 3 : 2$$

正确率60.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，设$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{b}， \， \， \， \overrightarrow{B E}=\frac{1} {2} \overrightarrow{B C}， \， \， \， \overrightarrow{A F}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}，$$则$$\overrightarrow{E F}=($$）

A

A.$$- \frac{2} {3} \overrightarrow{a}-\frac{1} {6} \overrightarrow{b}$$

B.$$- \frac{2} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {6} \overrightarrow{b}$$

C.$$- \frac{1} {3} \overrightarrow{a}-\frac{1} {6} \overrightarrow{b}$$

D.$$- \frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {6} \overrightarrow{b}$$

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=0， \， \， \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-2$$，则$$( \mathbf{3} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \ \cdot\ ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \ =\ ($$）

B

A.$${{1}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

正确率60.0%已知$$A， ~ B， ~ C$$是平面上不共线的三点，$${{O}}$$是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的重心，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{\bf O P} \!=\! \frac{1} {3} ( \frac{1} {2} \overrightarrow{\bf O A} \!+\! \frac{1} {2} \overrightarrow{\bf O B} \!+\! 2 \overrightarrow{\bf O C} ).$$则$${{P}}$$一定为$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的（）

A

A.$${{A}{B}}$$边中线的三等分点$${{(}}$$非重心$${{)}}$$

B.$${{A}{B}}$$边的中点

C.$${{A}{B}}$$边中线的中点

D.重心

正确率60.0% 已知向量 $${{a}{⃗}}$$ ， $${{b}^{⃗}}$$ ，且 $$\overrightarrow{A B}$$ $${{=}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{+}{2}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ， $$\overrightarrow{B C}$$ $${{=}{−}{5}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{+}{6}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ， $$\overrightarrow{C D}$$ $${{=}{7}}$$ $${{a}{⃗}}$$ $${{−}{2}}$$ $${{b}^{⃗}}$$ ，则一定共线的三点是 （）

A

A. $$A， ~ B， ~ D$$

B. $$A， ~ B， ~ C$$

C. $$B， ~ C， ~ D$$

D. $$A， ~ C， ~ D$$

正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， ~ ~ x， ~-2 )， ~ ~ \boldsymbol{b}=( 0， ~ 1， ~ 2 )， ~ ~ \boldsymbol{c}=( 1， ~ ~ 0， ~ 0 )，$$若$$\textit{a， b， c}$$共面，则$${{x}{=}}$$（）

A

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$或$${{0}}$$

正确率60.0%若空间向量$${{a}{，}{b}}$$不共线，且$$- \boldsymbol{a}+( 3 x-y ) \boldsymbol{b}=x \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}，$$则$${{x}{y}{=}}$$（）

D

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

正确率40.0%已知双曲线$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的离心率为$${{2}}$$，过右焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$交双曲线的两条渐近线于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{F B}=0，$$则直线$${{l}}$$的斜率$$\boldsymbol{k} \left( \boldsymbol{k} > 0 \right)$$的值等于（）

A

A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

正确率40.0%在四面体$${{O}{A}{B}{C}}$$中，点$${{M}}$$在$${{O}{A}}$$上，且$$O M=2 M A$$，$${{N}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{x} {4} \overrightarrow{O B}+\frac{x} {4} \overrightarrow{O C}$$，则使$${{G}}$$与$${{M}{、}{N}}$$共线的$${{x}}$$的值为（）

A

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

1. 解析：设$$S_{\triangle ABC} = S$$，根据向量条件$$2 \overrightarrow{PA} + 3 \overrightarrow{PB} + 4 \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$$，可以转化为面积关系。利用向量分解和面积比例公式，得到$$S_1 : S_2 : S_3 = 3 : 4 : 2$$。但重新计算后应为$$S_1 : S_2 : S_3 = 3 : 2 : 4$$，对应选项B。

3. 解析：已知$$2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$$，则$$\overrightarrow{b} = -2 \overrightarrow{a}$$。代入点积条件$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2$$，得$$\overrightarrow{a} \cdot (-2 \overrightarrow{a}) = -2$$，即$$|\overrightarrow{a}|^2 = 1$$。计算$$(3 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$$： $$ = (3 \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} \cdot 3 \overrightarrow{a} = 3 |\overrightarrow{a}|^2 = 3 $$ 对应选项B。

6. 解析：计算$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) + (-5 \overrightarrow{a} + 6 \overrightarrow{b}) + (7 \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b}) = 3 \overrightarrow{a} + 6 \overrightarrow{b} = 3 (\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) = 3 \overrightarrow{AB}$$。因此$$A, B, D$$三点共线，对应选项A。

8. 解析：向量$$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$$不共线，故系数对应相等： $$ \begin{cases} -1 = x \\ 3x - y = 3 \end{cases} $$ 解得$$x = -1$$，$$y = -6$$，因此$$xy = 6$$，对应选项D。

10. 解析：设$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$$。由题意： $$ \overrightarrow{OM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a}, \quad \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) $$ $$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{x}{4} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$$。若$$G, M, N$$共线，则$$\overrightarrow{OG}$$可表示为$$\overrightarrow{OM} + t (\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM})$$。解得$$x = \frac{4}{3}$$，对应选项D。