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正确率80.0%下列命题正确的是$${{(}{)}}$$
A.单位向量都相等
B.若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{b} / / \overrightarrow{c}$$，则$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{c}$$
C.若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$是相反向量，则$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |$$
D.$${{a}^{→}}$$与$$- \lambda\overrightarrow{a} ( \lambda\in R )$$的方向相反
2、['向量加法的运算律'， '平面向量的概念'， '空间向量的相关概念'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%已知平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，以顶点$${{A}}$$为端点的三条棱长都等于$${{1}}$$，且两两夹角都是$${{6}{0}{º}}$$，则对角线$${{A}{{C}_{1}}}$$的长是$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{6}}$$
3、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算'， '空间向量共线定理']正确率19.999999999999996%给出下列说法：
①若$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$是空间任意四点，则有$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}={\bf0}$$；
②$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a} |-| \boldsymbol{b} |$$是$${{a}{，}{b}}$$共线的充要条件；
③若$$A B / / C D，$$则$$\overrightarrow{A B}， \ \overrightarrow{C D}$$共线；
④对空间任意一点$${{O}}$$与不共线的三点$$A， \ B， \ C，$$若$$\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{C O}$$且$$x+y-z=1$$(其中$$x， ~ y， ~ z \in{\bf R} )，$$则$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面.
其中错误说法的个数是（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['空间向量的相关概念']正确率80.0%在以平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的顶点为起点和终点的向量中，与向量$$\overrightarrow{A D}$$相等的向量共有（）
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
5、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$的中心为$${{O}{，}}$$则下列说法中正确的有（）
①$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量；
②$$\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}-\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
③$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$$与$$\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{O C^{\prime}}+\overrightarrow{O D^{\prime}}$$是一对相反向量；
④$$\overrightarrow{O A}^{\prime}-\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O C^{\prime}}$$是一对相反向量.
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
6、['空间向量基本定理的理解'， '空间向量的相关概念']正确率60.0%给出下列说法：
①若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$共线，则向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$所在的直线平行；
②若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$所在的直线为异面直线，则向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$一定不共面；
③若三个向量$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$两两共面，则向量$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$共面；
④已知空间的三个向量$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$，则对于空间的任意一个向量$${{p}^{→}}$$总存在实数$$x， ~ y， ~ z$$使得$$\overrightarrow{p}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+z \overrightarrow{c}$$.
其中正确说法的个数是（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['空间向量的相关概念']正确率60.0%给出下列命题：
$${①}$$将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
$${②}$$若空间向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|，$$则$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}，$$
$${③}$$在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，必有$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A_{1} C_{1}}，$$
$${④}$$若空间向量$$\to， \ \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{c}$$满足$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}，$$则$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}，$$
$${⑤}$$空间中任意两个单位向量必相等；
其中
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['圆柱的结构特征及其性质'， '圆的定义与标准方程'， '组合体的表面积与体积'， '祖暅原理及其应用'， '空间向量的相关概念']正确率40.0%在空间直角坐标系$$O-x y z$$中，$${{O}}$$为原点，平面$${{x}{O}{z}}$$内有一平面图形$${{α}}$$由曲线$${{z}{=}{\sqrt {{4}{−}{{x}^{2}}}}}$$与$${{x}}$$轴围成，将该图形按空间向量$$\overrightarrow{a}=( x_{a}， y_{a}， z_{a} )=( 0， 2，-2 )$$进行平移，平移过程中平面图形$${{α}}$$所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为（）
A
A.$${{4}{π}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}{π}}$$
C.$${{8}{π}}$$
D.$${{8}{\sqrt {2}}{π}}$$
9、['空间向量的相关概念'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '空间向量数量积的性质']正确率0.0%
给出下列命题，其中是真命题个数的是 $${{(}}$$ $${{)}}$$
$${{(}{1}{)}{.}}$$ 若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\overrightarrow{a}=( 1，-1， 2 )$$ ，直线 $${{m}}$$ 的方向向量 $$\vec{b}=( 2， 1，-\frac{1} {2} )$$ ，则 $${{l}}$$ 与 $${{m}}$$ 平行
$${{(}{2}{)}{.}}$$ 若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\overrightarrow{a}=( 0， 1，-1 )$$ ，平面 $${{α}}$$ 的法向量 $$\overrightarrow{n}=( 1，-1，-1 )$$ ，则 $${{l}{⊥}{α}}$$
$${{(}{3}{)}{.}}$$ 若平面 $${{α}}$$ ， $${{β}}$$ 的法向量分别为 $$\overrightarrow{n}_{1}=( 0， 1， 3 )$$ ， $$\overrightarrow{n}_{2}=( 1， 0， 2 )$$ ，则 $${{α}{⊥}{β}}$$
$${{(}{4}{)}{.}}$$若平面$${{α}}$$经过三点$$A \left( 1， 0，-1 \right)$$，$$B \left( 0， 1， 0 \right)$$，$$C \， (-1， 2， 0 )$$，向量$$\vec{n}=( 1， u， t )$$是平面$${{α}}$$的法向量，则$$u+t=1$$$${{(}{5}{)}}$$在空间直角坐标系$$O-x y z$$中，若点$$A ( 1， 2， 3 )$$，$$B ( 1，-1， 4 )$$，点$${{C}}$$是点$${{A}}$$关于平面$${{y}{O}{z}}$$的对称点，则点$${{B}}$$与$${{C}}$$的距离为$${\sqrt {{1}{4}}}$$
$${{(}{6}{)}}$$若$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 0 )$$，$$\vec{b}=(-1， 0， 2 )$$，则与$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$共线的单位向量是$$\pm\left( 0， \frac{\sqrt{5}} {5}， \frac{2 \sqrt{5}} {5} \right)$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{4}}$$
10、['空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '空间向量数量积的性质'， '空间投影向量与投影数量']正确率40.0%若空间向量$$\vec{e_{1}}， \vec{e_{2}}$$满足$$| \vec{e_{1}} |=| 2 \vec{e_{1}}+\vec{e_{2}} |=3$$，则$${{e}_{1}^{→}}$$在$${{e}_{2}^{→}}$$方向上投影的最大值是$${{(}}$$$${{)}}$$
C
A.$${{3}}$$
B.$${{0}}$$
C.$$- \frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
1. 选项解析：
A. 单位向量长度相等，但方向可以不同，因此不一定相等。
B. 若 $$ \overrightarrow{b} = \mathbf{0} $$，则 $$ \overrightarrow{a} $$ 和 $$ \overrightarrow{c} $$ 不一定平行。
C. 相反向量的长度相等，正确。
D. 当 $$ \lambda < 0 $$ 时，$$ \overrightarrow{a} $$ 与 $$ -\lambda \overrightarrow{a} $$ 方向相同。
正确答案是 C。
2. 平行六面体对角线计算：
设 $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} $$，$$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} $$，$$ \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{c} $$，则 $$ \overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} $$。
计算长度：$$ |\overrightarrow{AC_1}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} $$。
代入已知条件：$$ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1 $$，夹角均为 $$ 60^\circ $$，点积为 $$ \frac{1}{2} $$。
结果为：$$ 1 + 1 + 1 + 3 \times 1 = 6 $$，故 $$ |\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{6} $$。
正确答案是 C。
3. 错误说法分析：
① 正确，向量首尾相接和为零。
② 错误，$$ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| $$ 不是充要条件。
③ 错误，$$ AB \parallel CD $$ 不一定共线，可能平行。
④ 错误，应为 $$ x + y + z = 1 $$。
错误说法有 3 个。
正确答案是 C。
4. 平行六面体向量计数：
与 $$ \overrightarrow{AD} $$ 相等的向量有 $$ \overrightarrow{A_1D_1} $$ 和 $$ \overrightarrow{BC} $$，共 2 个。
正确答案是 B。
5. 正方体中心向量分析：
① 正确，$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = -(\overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'}) $$。
② 正确，$$ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = -(\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OD'}) $$。
③ 正确，$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = -(\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'}) $$。
④ 错误，$$ \overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OA} $$ 与 $$ \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC'} $$ 不是相反向量。
正确答案是 C（3 个正确）。
6. 向量共线与共面分析：
① 错误，向量共线时所在直线可以重合。
② 错误，异面直线向量可以共面（如平移后）。
③ 错误，三个向量两两共面不一定共面（如三棱锥的三条棱）。
④ 错误，需 $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} $$ 线性无关时才成立。
正确答案是 A（0 个正确）。
7. 命题真假判断：
① 错误，终点构成球面。
② 错误，长度相等不保证方向相同。
③ 正确，正方体对角线向量相等。
④ 正确，向量传递性。
⑤ 错误，单位向量方向可以不同。
正确答案是 B（2 个正确）。
8. 空间几何体体积计算：
曲线 $$ z = \sqrt{4 - x^2} $$ 与 $$ x $$ 轴围成半圆，平移向量 $$ \overrightarrow{a} = (0, 2, -2) $$。
平移路径为圆柱体，体积为半圆面积乘以平移距离：$$ \frac{1}{2} \pi \times 2^2 \times |\overrightarrow{a}| = 2\pi \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\pi $$。
正确答案是 B。
9. 命题真假判断：
(1) 方向向量不成比例，不平行，错误。
(2) 方向向量与法向量不平行，不垂直，错误。
(3) 法向量点积为 $$ 0 + 0 + 6 \neq 0 $$，不垂直，错误。
(4) 法向量满足 $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 0 $$ 和 $$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} = 0 $$，解得 $$ u + t = 1 $$，正确。
(5) 点 $$ C $$ 为 $$ (-1, 2, 3) $$，距离 $$ BC = \sqrt{14} $$，正确。
(6) $$ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (0, 1, 2) $$，单位向量为 $$ \pm \left(0, \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right) $$，正确。
正确答案是 B（3 个正确）。
10. 投影最大值计算：
设 $$ \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = x $$，由 $$ |2\vec{e_1} + \vec{e_2}| = 3 $$ 得 $$ 4|\vec{e_1}|^2 + |\vec{e_2}|^2 + 4x = 9 $$。
设 $$ |\vec{e_2}| = y $$，则 $$ 36 + y^2 + 4x = 9 $$，即 $$ y^2 + 4x = -27 $$。
投影为 $$ \frac{\vec{e_1} \cdot \vec{e_2}}{|\vec{e_2}|} = \frac{x}{y} $$。
由 $$ y^2 = -27 - 4x $$ 和 $$ y^2 \geq 0 $$ 得 $$ x \leq -\frac{27}{4} $$。
极值分析得最大投影为 $$ -\frac{3}{2} $$。
正确答案是 D。