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正确率60.0%在所有棱长都为$${{1}}$$的平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}}$$为$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$与$${{B}_{1}{{D}_{1}}}$$的交点，$$\angle B A D=6 0^{\circ}， \， \， \angle D A A_{1}=\angle B A A_{1}=3 0^{\circ}，$$则$$| \overrightarrow{B M} |=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$$\frac{5} {4}$$
2、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}{，}{N}}$$分别是$$A_{1} B_{1}， ~ B B_{1}$$的中点，则直线$${{A}{M}}$$与$${{C}{N}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$- \frac{2} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
3、['投影向量（投影）'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 3 )$$，$$\vec{b}=( 2， 3， 4 )$$，则向量$${{b}^{→}}$$在向量$${{a}^{→}}$$上的投影向量是$${{(}{)}}$$
A.$${\frac{1 0} {7}} ( 1， 2， 3 )$$
B.$${\frac{1 0} {7}} ( 2， 3， 4 )$$
C.$$\frac{2 0} {2 9} ( 1， 2， 3 )$$
D.$$\frac{2 0} {2 9} ( 2， 3， 4 )$$
4、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%在棱长为$${{1}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{E}{，}{F}}$$分别是$$B C， ~ A D$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{C F}$$等于 （）
D
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
5、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的所有棱长都是$${{2}}$$，点$${{E}{，}{F}}$$分别是$$A D， D C$$的中点，则$$\overrightarrow{E F} \cdot\overrightarrow{B A}=$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
6、['空间向量的数量积']正确率60.0%已知空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的每条边和对角线长都等于$${{1}{，}}$$点$${{F}{，}{G}}$$分别是$$A D， D C$$的中点，则$$\overrightarrow{F G} \cdot\overrightarrow{A B}=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
7、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-4， 2， t )$$的夹角为钝角，则实数$${{t}}$$的取值范围为
D
A.$$(-\infty，-6 )$$
B.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( {\frac{1 0} {3}}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-6 ) \cup(-6， \frac{1 0} {3} )$$
8、['空间向量的数量积']正确率60.0%设正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$的棱长为$${{a}}$$，$${{A}{{C}^{′}}}$$与$${{B}{{D}^{′}}}$$相交于点$${{O}}$$，则$${{(}{)}}$$
C
A.$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=2 a^{2}$$
B.$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C^{\prime}}=\sqrt{2} a^{2}$$
C.$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A O}=\frac{1} {2} a^{2}$$
D.$$\overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{D A^{\prime}}=a^{2}$$
9、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%在棱长为$${\sqrt {2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，若$${{E}}$$，$${{F}}$$分别是$${{A}{D}}$$，$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A F}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
10、['空间向量的数量积']正确率80.0%已知直线$${{l}_{1}}$$的方向向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 4， x )$$，直线$${{l}_{2}}$$的方向向量$$\vec{b}=( 2， y， 2 )$$，若$$| \overrightarrow{a} |=6$$，且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，则$${{x}{+}{y}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{3}}$$或$${{1}}$$
B.$${{3}}$$或$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：
设平行六面体的顶点坐标如下：
$$A(0, 0, 0)$$，$$B(1, 0, 0)$$，$$D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$A_1(0, 0, 1)$$。
由对称性，$$C_1 = B + D + A_1 - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$$，$$B_1(1, 0, 1)$$，$$D_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$$。
$$M$$ 为 $$A_1C_1$$ 和 $$B_1D_1$$ 的交点，坐标为 $$\left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1\right)$$。
$$\overrightarrow{BM} = \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1\right)$$，模长为 $$\sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。
答案：$$\boxed{C}$$
2. 解析：
建立坐标系，设 $$A(0, 0, 0)$$，$$B(1, 0, 0)$$，$$C(1, 1, 0)$$，$$D(0, 1, 0)$$，$$A_1(0, 0, 1)$$，$$B_1(1, 0, 1)$$。
$$M$$ 为 $$A_1B_1$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$$；$$N$$ 为 $$BB_1$$ 中点，坐标为 $$(1, 0, \frac{1}{2})$$。
$$\overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$$，$$\overrightarrow{CN} = (0, -1, \frac{1}{2})$$。
夹角余弦为 $$\frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{CN}|} = \frac{\frac{1}{2} \times 0 + 0 \times (-1) + 1 \times \frac{1}{2}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{5}$$。
答案：$$\boxed{B}$$
3. 解析：
投影向量公式为 $$\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$$。
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 = 20$$，$$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$$。
投影向量为 $$\frac{20}{14} \vec{a} = \frac{10}{7} (1, 2, 3)$$。
答案：$$\boxed{A}$$
4. 解析：
设正四面体的顶点坐标：$$A(0, 0, 0)$$，$$B(1, 0, 0)$$，$$C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$。
$$E$$ 为 $$BC$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$$；$$F$$ 为 $$AD$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)$$。
$$\overrightarrow{AE} = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$$，$$\overrightarrow{CF} = \left(-\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \left(-\frac{1}{4}, -\frac{7\sqrt{3}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)$$。
点积为 $$\frac{3}{4} \times \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(-\frac{7\sqrt{3}}{12}\right) + 0 \times \frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{3}{16} - \frac{21}{48} = -\frac{3}{4}$$。
答案：$$\boxed{C}$$
5. 解析：
设四面体顶点坐标：$$A(0, 0, 0)$$，$$B(2, 0, 0)$$，$$C(1, \sqrt{3}, 0)$$，$$D(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$$。
$$E$$ 为 $$AD$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$；$$F$$ 为 $$DC$$ 中点，坐标为 $$\left(1, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$。
$$\overrightarrow{EF} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$\overrightarrow{BA} = (-2, 0, 0)$$。
点积为 $$\frac{1}{2} \times (-2) + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0 + 0 \times 0 = -1$$。
答案：$$\boxed{B}$$
6. 解析：
设空间四边形顶点坐标：$$A(0, 0, 0)$$，$$B(1, 0, 0)$$，$$C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$。
$$F$$ 为 $$AD$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)$$；$$G$$ 为 $$DC$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)$$。
$$\overrightarrow{FG} = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$$，$$\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)$$。
点积为 $$\frac{1}{4} \times 1 + \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0 + 0 \times 0 = \frac{1}{4}$$。
答案：$$\boxed{B}$$
7. 解析：
夹角为钝角的条件是 $$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$$ 且 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 不共线。
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times (-4) + (-1) \times 2 + 3 \times t = -8 -2 + 3t = 3t - 10 < 0 \Rightarrow t < \frac{10}{3}$$。
排除共线情况：$$\frac{2}{-4} = \frac{-1}{2} = \frac{3}{t}$$，解得 $$t = -6$$。
所以 $$t < \frac{10}{3}$$ 且 $$t \neq -6$$。
答案：$$\boxed{D}$$
8. 解析：
设正方体顶点坐标：$$A(0, 0, 0)$$，$$B(a, 0, 0)$$，$$C(a, a, 0)$$，$$D(0, a, 0)$$，$$A'(0, 0, a)$$，$$C'(a, a, a)$$。
验证选项：
A. $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (a, 0, 0) \cdot (a, a, 0) = a^2 \neq 2a^2$$，错误。
B. $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC'} = (a, 0, 0) \cdot (a, a, a) = a^2 \neq \sqrt{2}a^2$$，错误。
C. $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = (a, 0, 0) \cdot \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{2}$$，正确。
D. $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DA'} = (0, a, 0) \cdot (0, -a, a) = -a^2 \neq a^2$$，错误。
答案：$$\boxed{C}$$
9. 解析：
设正方体顶点坐标：$$A(0, 0, 0)$$，$$B(\sqrt{2}, 0, 0)$$，$$C(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$$，$$D(0, \sqrt{2}, 0)$$，$$A_1(0, 0, \sqrt{2})$$，$$C_1(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2})$$。
$$E$$ 为 $$AD$$ 中点，坐标为 $$\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$$；$$F$$ 为 $$CC_1$$ 中点，坐标为 $$\left(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$。
$$\overrightarrow{AE} = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$$，$$\overrightarrow{AF} = \left(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$。
点积为 $$0 \times \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{2} + 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$$。
答案：$$\boxed{B}$$
10. 解析：
由 $$|\vec{a}| = 6$$，得 $$\sqrt{2^2 + 4^2 + x^2} = 6 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$$。
由 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，得 $$2 \times 2 + 4 \times y + x \times 2 = 0 \Rightarrow 4 + 4y + 2x = 0$$。
当 $$x = 4$$ 时，$$4 + 4y + 8 = 0 \Rightarrow y = -3$$；
当 $$x = -4$$ 时，$$4 + 4y - 8 = 0 \Rightarrow y = 1$$。
所以 $$x + y = 1$$ 或 $$-3$$。
答案：$$\boxed{A}$$