.jpg)
正确率60.0%下列说法中，错误的个数为（）
①在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，}$$$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$$；
②若两个非零向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{C D}$$满足$$\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{C D}，$$则$$\overrightarrow{A B}， \ \overrightarrow{C D}$$为相反向量;
③$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$$的充要条件是$${{A}}$$与$${{C}}$$重合$${，{B}}$$与$${{D}}$$重合；
④两直线的方向向量平行，则两直线平行.
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{0}}$$
2、['空间向量的相关概念']正确率60.0%已知$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{2}， \mathbf{}-\mathbf{3}， \mathbf{1} )， \ \boldsymbol{b}=( \mathbf{2}， \ 0， \mathbf{3} )，$$$$\boldsymbol{c}=( 0， \ 0， \ 2 )，$$则$$\boldsymbol{a} \cdot( \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} )=$$（）
D
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{9}}$$
4、['空间向量的相关概念']正确率60.0%已知空间中三点$$O ( 0， ~ 0， ~ 0 )， ~ A (-1， ~ 1， ~ 0 )， ~ B ( 0， ~ 2， ~ 1 )，$$在直线$${{O}{A}}$$上有一点$${{H}}$$满足$$B H \perp O A，$$则点$${{H}}$$的坐标为（）
A
A.$$(-1， ~ 1， ~ 0 )$$
B.$$(-1， ~ 0， ~ 0 )$$
C.$$(-1， ~-1， ~ 1 )$$
D.$$( 1， ~ 1， ~ 0 )$$
5、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A C}， \， \， \overrightarrow{B C}$$满足$$| \overrightarrow{A B} |=| \overrightarrow{A C} |+| \overrightarrow{B C} |，$$则（）
D
A.$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B C}$$
B.$$\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}$$
C.$$\overrightarrow{A C}$$与$$\overrightarrow{B C}$$同向
D.$$\overrightarrow{A C}$$与$$\overrightarrow{C B}$$同向
7、['空间向量的相关概念'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '空间向量数量积的性质']正确率0.0%
给出下列命题，其中是真命题个数的是 $${{(}}$$ $${{)}}$$
$${{(}{1}{)}{.}}$$ 若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\overrightarrow{a}=( 1，-1， 2 )$$ ，直线 $${{m}}$$ 的方向向量 $$\vec{b}=( 2， 1，-\frac{1} {2} )$$ ，则 $${{l}}$$ 与 $${{m}}$$ 平行
$${{(}{2}{)}{.}}$$ 若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\overrightarrow{a}=( 0， 1，-1 )$$ ，平面 $${{α}}$$ 的法向量 $$\overrightarrow{n}=( 1，-1，-1 )$$ ，则 $${{l}{⊥}{α}}$$
$${{(}{3}{)}{.}}$$ 若平面 $${{α}}$$ ， $${{β}}$$ 的法向量分别为 $$\overrightarrow{n}_{1}=( 0， 1， 3 )$$ ， $$\overrightarrow{n}_{2}=( 1， 0， 2 )$$ ，则 $${{α}{⊥}{β}}$$
$${{(}{4}{)}{.}}$$若平面$${{α}}$$经过三点$$A \left( 1， 0，-1 \right)$$，$$B \left( 0， 1， 0 \right)$$，$$C \， (-1， 2， 0 )$$，向量$$\vec{n}=( 1， u， t )$$是平面$${{α}}$$的法向量，则$$u+t=1$$$${{(}{5}{)}}$$在空间直角坐标系$$O-x y z$$中，若点$$A ( 1， 2， 3 )$$，$$B ( 1，-1， 4 )$$，点$${{C}}$$是点$${{A}}$$关于平面$${{y}{O}{z}}$$的对称点，则点$${{B}}$$与$${{C}}$$的距离为$${\sqrt {{1}{4}}}$$
$${{(}{6}{)}}$$若$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 0 )$$，$$\vec{b}=(-1， 0， 2 )$$，则与$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$共线的单位向量是$$\pm\left( 0， \frac{\sqrt{5}} {5}， \frac{2 \sqrt{5}} {5} \right)$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{4}}$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知空间中三点$$A ( 0， 1， 0 )$$，$$B ( 2， 2， 0 )$$，$$C (-1， 3， 1 )$$，则$${{(}{)}}$$
D
A.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$是共线向量
B.与向量$$\overrightarrow{A B}$$方向相同的单位向量是$$\left( \frac{2 \sqrt{5}} {5}，-\frac{\sqrt{5}} {5}， 0 \right)$$
C.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{B C}$$夹角的余弦值是$$\frac{\sqrt{5 5}} {1 1}$$
D.平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量是$$( 1，-2， 5 )$$
9、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{c}$$，点$${{M}}$$在线段$${{A}{C}}$$上，且$$A M=2 M C$$，点$${{N}}$$是$${{O}{B}}$$的中点，则$$\overrightarrow{M N}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
C
A.$$\frac2 3 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac2 3 \overrightarrow{c}$$
B.$$\frac2 3 \overrightarrow{a}-\frac1 2 \overrightarrow{b}+\frac2 3 \overrightarrow{c}$$
C.$$- \frac1 3 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac2 3 \overrightarrow{c}$$
D.$$\frac1 3 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac1 3 \overrightarrow{c}$$
10、['空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%在空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$\overrightarrow{O A}$$
B.$$\overrightarrow{A B}$$
C.$$\overrightarrow{O C}$$
D.$$\overrightarrow{A C}$$
1、下列说法中，错误的个数为（）
②若两个非零向量$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{CD}$$满足$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$$，则它们是相反向量，这是正确的。
③$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$的充要条件是$$A$$与$$C$$重合且$$B$$与$$D$$重合，这是错误的，因为向量相等只需要长度和方向相同，位置可以不同。
④两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，因此该命题不完全正确。
综上，错误的有③和④，共2个。答案为$$B$$。
2、已知$$\boldsymbol{a}=(2,-3,1)$$，$$\boldsymbol{b}=(2,0,3)$$，$$\boldsymbol{c}=(0,0,2)$$，则$$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=$$（）。
然后计算点积：$$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=2 \times 2 + (-3) \times 0 + 1 \times 5 = 4 + 0 + 5 = 9$$。
答案为$$D$$。
4、已知空间中三点$$O(0,0,0)$$，$$A(-1,1,0)$$，$$B(0,2,1)$$，在直线$$OA$$上有一点$$H$$满足$$BH \perp OA$$，则点$$H$$的坐标为（）。
设$$H$$在$$OA$$上，坐标为$$H(-t,t,0)$$，其中$$t \geq 0$$。
向量$$\overrightarrow{BH}=(-t-0,t-2,0-1)=(-t,t-2,-1)$$。
由于$$BH \perp OA$$，故$$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{OA}=0$$：
$$(-t)(-1)+(t-2)(1)+(-1)(0)=t+t-2=2t-2=0$$，解得$$t=1$$。
因此$$H$$的坐标为$$(-1,1,0)$$，答案为$$A$$。
5、已知向量$$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AC}$$、$$\overrightarrow{BC}$$满足$$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BC}|$$，则（）。
因此，$$\overrightarrow{AC}$$与$$\overrightarrow{CB}$$同向，答案为$$D$$。
7、给出下列命题，其中是真命题个数的是（）。
(2) $$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{n}$$的点积为$$0 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times (-1)=0-1+1=0$$，说明$$l$$与$$\alpha$$平行或$$l$$在$$\alpha$$内，故错误。
(3) $$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=0 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 2=6 \neq 0$$，说明$$\alpha$$与$$\beta$$不垂直，故错误。
(4) 平面$$\alpha$$的法向量$$\overrightarrow{n}$$与$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AC}$$垂直：
$$\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$$，$$\overrightarrow{AC}=(-2,2,1)$$。
由$$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$和$$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0$$解得$$u=1$$，$$t=0$$，故$$u+t=1$$，正确。
(5) 点$$C$$关于$$yOz$$平面的对称点为$$(-1,2,3)$$，$$BC$$的距离为$$\sqrt{(1-(-1))^2+(-1-2)^2+(4-3)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$$，正确。
(6) $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0,1,2)$$，其单位向量为$$\pm \left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\pm \left(0,\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$$，正确。
综上，真命题有(4)(5)(6)，共3个，答案为$$B$$。
8、已知空间中三点$$A(0,1,0)$$，$$B(2,2,0)$$，$$C(-1,3,1)$$，则（）。
B. 单位向量为$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right)$$，与选项不符，错误。
C. $$\overrightarrow{BC}=(-3,1,1)$$，夹角余弦为$$\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{-6+1+0}{\sqrt{5} \times \sqrt{11}}=\frac{-5}{\sqrt{55}}$$，与选项不符，错误。
D. 平面$$ABC$$的法向量可以通过$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$计算，得到$$(1,-2,5)$$，正确。
答案为$$D$$。
9、空间四边形$$OABC$$中，$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$$，点$$M$$在线段$$AC$$上且$$AM=2MC$$，点$$N$$是$$OB$$的中点，则$$\overrightarrow{MN}=$$（）。
$$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$。
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$$。
答案为$$C$$。
10、在空间四边形$$OABC$$中，$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$$等于（）。
答案为$$C$$。