空间向量的相关概念-1.1 空间向量及其运算知识点月考基础自测题解析-安徽省等高一数学选择必修,平均正确率66.0%

1、['必要不充分条件'， '向量垂直'， '直线与平面垂直的判定定理'， '空间向量的相关概念'， '向量的数量积的定义'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是平面$${{α}}$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$${{c}^{→}}$$在直线$${{l}}$$上，则$${{“}}$$$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{a}=0$$，且$$\overrightarrow{c} \cdot\overrightarrow{b}=0$$$${{”}}$$是$${{l}{⊥}{α}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['向量加法的运算律'， '平面向量的概念'， '空间向量的相关概念'， '空间向量数量积的性质']

正确率60.0%已知平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，以顶点$${{A}}$$为端点的三条棱长都等于$${{1}}$$，且两两夹角都是$${{6}{0}{º}}$$，则对角线$${{A}{{C}_{1}}}$$的长是$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {6}}$$

D.$${{6}}$$

3、['空间向量的相关概念']

正确率80.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，可以构成空间的一个基底的是（）

A.$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A C}， \， \， \overrightarrow{A D}$$

B.$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A A_{1}}， \， \， \overrightarrow{A B_{1}}$$

C.$$\overrightarrow{D_{1} A_{1}}， ~ \overrightarrow{D_{1} C_{1}}， ~ \overrightarrow{D_{1} D}$$

D.$$\overrightarrow{A C_{1}}， \， \， \overrightarrow{A_{1} C}， \， \， \overrightarrow{C C_{1}}$$

4、['空间向量的相关概念']

正确率80.0%在平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，下列各组向量一定不共面的是（）

A.$$\overrightarrow{A D_{1}}， \， \overrightarrow{A B}$$

B.$$\overrightarrow{A C_{1}}， \ \overrightarrow{A_{1} B}$$

C.$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{B B_{1}}， \， \， \overrightarrow{C D_{1}}$$

D.$$\overrightarrow{A B}， \ \overrightarrow{A D}， \ \overrightarrow{A A_{1}}$$

5、['空间向量的相关概念']

正确率80.0%下列命题中是假命题的是（）

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果$$| \boldsymbol{a} |=0，$$那么$${{a}{=}{0}}$$

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

6、['共面向量定理'， '空间向量的相关概念'， '空间向量数量积的性质']

正确率80.0%下列说法错误的是（）

A.设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个空间向量，则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$一定共面

B.设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个空间向量，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{a}$$

C.设$$\to， ~ \to， ~ \to$$是三个空间向量，则$$\to， ~ \to， ~ \to$$一定不共面

D.设$$\to， ~ \to， ~ \to$$是三个空间向量，则$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{c}$$

7、['空间向量的相关概念']

正确率60.0%设棱长为$${{1}}$$的正方体$${{A}{{C}_{1}}}$$中的$${{8}}$$个顶点构成集合$${{S}}$$，集合$$P=\{\boldsymbol{a} | \boldsymbol{a}=\overrightarrow{P_{1} P_{2}}， \， \， \， P_{1}， \， \， \， P_{2} \in S \}$$，则集合$${{P}}$$中模为$${\sqrt {3}}$$的向量的个数是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{8}}$$

8、['空间向量的相关概念']

正确率60.0%设$${{O}{A}{B}{C}}$$是四面体，$${{G}_{1}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，$${{G}}$$是$${{O}{{G}_{1}}}$$上一点，且$$O G=3 G G_{1}$$，若$$\overrightarrow{O G}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}，$$则$$( \ x， \ y， \ z )$$为（）

A.$$( \frac{1} {4}， \ \frac{1} {4}， \ \frac{1} {4} )$$

B.$$( \frac{3} {4}， \ \frac{3} {4}， \ \frac{3} {4} )$$

C.$$( \frac{1} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \frac{1} {3} )$$

D.$$( \frac{2} {3}， \ \frac{2} {3}， \ \frac{2} {3} )$$

9、['空间向量的相关概念']

正确率80.0%下列命题中为真命题的是$${{(}{)}{.}}$$

A.向量$$\overrightarrow{\mathrm{A B}}$$与$$\overrightarrow{\mathrm{B A}}$$的长度相等

B.空间向量就是空间中的一条有向线段

C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

10、['空间向量的数量积'， '空间向量的相关概念'， '空间向量数量积的性质'， '空间投影向量与投影数量']

正确率40.0%若空间向量$$\vec{e_{1}}， \vec{e_{2}}$$满足$$| \vec{e_{1}} |=| 2 \vec{e_{1}}+\vec{e_{2}} |=3$$，则$${{e}_{1}^{→}}$$在$${{e}_{2}^{→}}$$方向上投影的最大值是$${{(}}$$$${{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{0}}$$

C.$$- \frac{3 \sqrt{3}} {2}$$

D.$$- \frac{3} {2}$$

1. 解析：

向量 $$\overrightarrow{c}$$ 与平面 $$\alpha$$ 内两个不共线向量 $$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$ 的点积均为零，说明 $$\overrightarrow{c}$$ 与平面 $$\alpha$$ 的法向量平行，因此直线 $$l$$ 垂直于平面 $$\alpha$$。反之，若 $$l \perp \alpha$$，则 $$\overrightarrow{c}$$ 与 $$\alpha$$ 内任意向量的点积为零。故条件是充要的，选 C。

2. 解析：

设 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{c}$$，则 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$$，且夹角均为 $$60^\circ$$。对角线 $$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$$。计算模长： $$|\overrightarrow{AC_1}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 1 + 1 + 1 + 2 \times 1 \times 1 \times \cos 60^\circ \times 3 = 6$$，故 $$|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{6}$$，选 C。

3. 解析：

基底要求三个向量不共面。选项 C 中 $$\overrightarrow{D_1A_1}$$、$$\overrightarrow{D_1C_1}$$、$$\overrightarrow{D_1D}$$ 分别沿长方体的三条棱，不共面，可以构成基底，选 C。

4. 解析：

选项 B 中 $$\overrightarrow{AC_1}$$ 和 $$\overrightarrow{A_1B}$$ 为空间对角线，不在同一平面内，一定不共面，选 B。

5. 解析：

零向量的相反向量仍是零向量，与其自身相等，故 A 是假命题，选 A。

6. 解析：

选项 C 错误，三个向量可能共面（如两向量之和等于第三个向量），选 C。

7. 解析：

模为 $$\sqrt{3}$$ 的向量为正方体的空间对角线，共有 8 个顶点，每对不相邻的顶点对应一条空间对角线，共 4 条，每条对角线有 2 个方向，故有 8 个向量，选 D。

8. 解析：

重心 $$G_1$$ 的坐标为 $$\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$，由 $$OG = 3GG_1$$ 得 $$OG = \frac{3}{4}OG_1$$，故 $$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{4} \left( \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} \right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$，坐标为 $$\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)$$，选 A。

9. 解析：

选项 A 正确，$$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{BA}$$ 长度相等方向相反。选项 B 错误，向量是有向线段的抽象表示。选项 C 错误，单位向量的终点构成球面。选项 D 错误，不等向量的模可能相等。选 A。

10. 解析：

设 $$\theta$$ 为 $$\overrightarrow{e_1}$$ 与 $$\overrightarrow{e_2}$$ 的夹角，由 $$|2\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}| = 3$$ 得 $$4|\overrightarrow{e_1}|^2 + |\overrightarrow{e_2}|^2 + 4\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} = 9$$，代入 $$|\overrightarrow{e_1}| = 3$$ 得 $$36 + |\overrightarrow{e_2}|^2 + 12|\overrightarrow{e_2}|\cos \theta = 9$$。投影为 $$|\overrightarrow{e_1}|\cos \theta = 3\cos \theta$$，通过极值分析可得最大值为 0，选 B。

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