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正确率60.0%svg异常
C
A.$${{2}{\sqrt {{1}{7}}}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
D.$${{9}}$$
2、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%已知正四面体$$A-B C D$$的棱长为$$1， \， \bigtriangleup A B C$$的重心为$${{G}{，}}$$则线段$${{D}{G}}$$的长为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
3、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，设$$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}， \ \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}， \ \overrightarrow{A A_{1}}=\boldsymbol{c}，$$则$$\boldsymbol{a} \cdot( \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} )=$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%若$$\overrightarrow{A B}=(-1， 2， 3 )$$，$$\overrightarrow{B C}=( 1，-1，-5 )$$，则$$| \overrightarrow{A C} |=( \textsubscript{\phi} )$$
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['导数的四则运算法则'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%设$$\overrightarrow{a}=( x^{2}+6 x， 5 x，-2 )， \overrightarrow{b}=( \frac{1} {3} x， 1-x， 3 )，$$已知$$f ( x )=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$$，则$$f^{\prime} ( x )=$$
D
A.$$x^{2}-3 x+5$$
B.$$x^{2}+6 x-5$$
C.$$\frac1 3 x^{3}-3 x^{2}+5 x$$
D.$$x^{2}-6 x+5$$
6、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%若$$\overrightarrow{a}=( 1， \lambda， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-1， 2 )，$$且$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{8} {9}，$$则$${{λ}}$$等于（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$或$$\frac{2} {5 5}$$
D.$${{2}}$$或$$- \frac{2} {5 5}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '一元二次不等式的解法'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '空间向量的线性运算'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%svg异常
B
A.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
B.$$( 0， \frac{\sqrt{6}} {3} )$$
C.$$( \frac{\sqrt2} 2， \sqrt2 )$$
D.$$( \frac{\sqrt6} {3}， \sqrt2 )$$
8、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%svg异常
C
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=( 1， 1， n )$$，$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=3$$，则向量$${{a}^{→}}$$与$$\lambda\vec{b} ( \lambda\neq0 )$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$或$$\frac{5 \pi} {6}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
10、['共面向量定理'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 0 )$$，则与$${{a}^{→}}$$共线的单位向量$$\overrightarrow{e}=( \eta)$$
C
A.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}，-\frac{\sqrt{2}} {2}， 0 )$$
B.$$( 0， 1， 0 )$$
C.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2}， 0 )$$
D.$$( 1， 1， 1 )$$
1. 题目描述不完整，无法解析。
2. 已知正四面体$$A-B C D$$的棱长为$$1$$，$$\bigtriangleup A B C$$的重心为$$G$$，求线段$$D G$$的长度。
解：
1) 正四面体的高$$h = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
2) 重心$$G$$到底面距离为高的$$\frac{1}{4}$$：$$\frac{\sqrt{6}}{12}$$
3) $$D G = \sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{12})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
答案：D
3. 在棱长为$$1$$的正方体中，设$$\overrightarrow{A B} = \boldsymbol{a}$$，$$\overrightarrow{A D} = \boldsymbol{b}$$，$$\overrightarrow{A A_{1}} = \boldsymbol{c}$$，求$$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$$。
解：
1) $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$（垂直）
2) $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 0$$（垂直）
3) 结果为$$0 + 0 = 0$$
答案：B
4. 已知$$\overrightarrow{A B} = (-1, 2, 3)$$，$$\overrightarrow{B C} = (1, -1, -5)$$，求$$|\overrightarrow{A C}|$$。
解：
1) $$\overrightarrow{A C} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C} = (0, 1, -2)$$
2) 模长$$= \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$$
答案：A
5. 设$$\overrightarrow{a} = (x^2 + 6x, 5x, -2)$$，$$\overrightarrow{b} = (\frac{1}{3}x, 1 - x, 3)$$，已知$$f(x) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，求$$f'(x)$$。
解：
1) 点积$$f(x) = \frac{1}{3}x(x^2 + 6x) + 5x(1 - x) + (-2)(3)$$
2) 展开得$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x - 5x^2 - 6 = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x - 6$$
3) 求导得$$f'(x) = x^2 - 6x + 5$$
答案：D
6. 已知$$\overrightarrow{a} = (1, \lambda, 2)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, -1, 2)$$，夹角余弦为$$\frac{8}{9}$$，求$$\lambda$$。
解：
1) 点积$$1 \times 2 + \lambda \times (-1) + 2 \times 2 = 6 - \lambda$$
2) 模积$$\sqrt{1 + \lambda^2 + 4} \times \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$$
3) 由$$\frac{6 - \lambda}{3\sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{8}{9}$$解得$$\lambda = 2$$或$$-\frac{2}{55}$$
答案：D
7. 题目描述不完整，无法解析。
8. 题目描述不完整，无法解析。
9. 已知$$\overrightarrow{a} = (1, 0, 1)$$，$$\vec{b} = (1, 1, n)$$，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$，求夹角。
解：
1) 由点积得$$1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times n = 3 \Rightarrow n = 2$$
2) 夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
3) 故$$\theta = \frac{\pi}{6}$$
答案：A
10. 已知向量$$\overrightarrow{a} = (1, 1, 0)$$，求与之共线的单位向量。
解：
1) 单位向量$$\overrightarrow{e} = \pm \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \pm (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$$
2) 选项中只有C符合
答案：C