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正确率40.0%已知空间向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$满足$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$，$$\left| \overrightarrow{a} \right|=1$$，$$\left| \overrightarrow{b} \right|=2$$，$$\left| \overrightarrow{c} \right|=\sqrt{7}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A. $${{3}{0}{°}}$$
B. $${{4}{5}{°}}$$
C. $${{6}{0}{°}}$$
D. $${{9}{0}{°}}$$
2、['空间向量的数量积']正确率60.0%已知长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}，$$则下列向量的数量积一定为$${{0}}$$的是（）
C
A.$$\overrightarrow{A D_{1}} \cdot\overrightarrow{B_{1} C}$$
B.$$\overrightarrow{B D_{1}} \cdot\overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A D_{1}}$$
D.$$\overrightarrow{B D_{1}} \cdot\overrightarrow{B C}$$
4、['空间向量的数量积']正确率80.0%已知$$\overrightarrow{a}=( x， 4， 2 )$$，$$\vec{b}=( 3， y， 5 )$$，若$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，则$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 2，+\infty)$$
B.$$[ 3，+\infty)$$
C.$$[ 4，+\infty)$$
D.$$[ 5，+\infty)$$
5、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%若$$\overrightarrow{A B}=( 1， 2， 3 ) \，， \， \， \， \overrightarrow{C B}=( 1， 0， 1 ) \，，$$向量$${{μ}^{→}}$$满足$$\overrightarrow{\mu} \perp\overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{\mu} \perp\overrightarrow{C B}，$$则$${{μ}^{→}}$$可以是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 1， 1， 1 )$$
B.$$( 1， 1，-1 )$$
C.$$( 1，-1，-1 )$$
D.$$(-1， 1， 1 )$$
6、['空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%在棱长为$${{2}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{E}{，}{F}}$$分别是$$B C， ~ A D$$的中点，$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{C F}=\emptyset$$）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
7、['空间直角坐标系'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率40.0%在正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，侧棱长为$${{2}{，}}$$底面边长为$${{1}{，}{M}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{C_{1} N}=\lambda\overrightarrow{N C} ( \lambda> 0 )，$$且$$A B_{1} \perp M N，$$则$${{λ}}$$的值为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{2}{0}}$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%设空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， 2， 3 )，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
C
A.$$( 2， 4， 3 )$$
B.$$( 3， 4， 4 )$$
C.$${{9}}$$
D.$${{−}{5}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\left( 2， 1，-1 \right)， \， \overrightarrow{b}=\left(-3， x， y \right)$$，且$${{a}^{⇀}{⊥}{{b}^{⇀}}}$$，则$${{x}{−}{y}{=}}$$（）
D
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{6}}$$
1. 已知 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$$，则 $$\overrightarrow{c} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$。
计算模长平方：$$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$$，其中 $$\theta$$ 为 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角。
代入已知：$$(\sqrt{7})^2 = 1^2 + 2^2 + 2 \times 1 \times 2 \times \cos\theta$$，即 $$7 = 1 + 4 + 4\cos\theta$$。
解得：$$4\cos\theta = 2$$，$$\cos\theta = \frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = 60^\circ$$。
答案：C. $$60^\circ$$
2. 分析各选项向量的位置关系：
A. $$\overrightarrow{AD_1}$$ 与 $$\overrightarrow{B_1C}$$：在长方体中，$$\overrightarrow{AD_1}$$ 与 $$\overrightarrow{B_1C}$$ 平行且同向，数量积不为零。
B. $$\overrightarrow{BD_1}$$ 与 $$\overrightarrow{AC}$$：$$\overrightarrow{BD_1}$$ 为体对角线，$$\overrightarrow{AC}$$ 为底面对角线，在一般长方体中不一定垂直，数量积不一定为零。
C. $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{AD_1}$$：$$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{AD_1}$$ 的夹角为锐角，数量积大于零。
D. $$\overrightarrow{BD_1}$$ 与 $$\overrightarrow{BC}$$：$$\overrightarrow{BC}$$ 为底边向量，$$\overrightarrow{BD_1}$$ 为体对角线，在长方体中，由于 $$\overrightarrow{BC}$$ 与 $$\overrightarrow{BD_1}$$ 在底面上的投影垂直，且高度方向分量不影响垂直，因此数量积一定为零。
答案：D. $$\overrightarrow{BD_1} \cdot \overrightarrow{BC}$$
4. 已知 $$\overrightarrow{a} = (x, 4, 2)$$，$$\overrightarrow{b} = (3, y, 5)$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$。
数量积为零：$$x \cdot 3 + 4 \cdot y + 2 \cdot 5 = 0$$，即 $$3x + 4y + 10 = 0$$。
解得：$$3x + 4y = -10$$。
求 $$x^2 + y^2$$ 的最小值，即点 $$(x, y)$$ 到原点距离平方的最小值。
由点到直线距离公式：$$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{10}{5} = 2$$。
所以 $$x^2 + y^2 \geq d^2 = 4$$。
答案：C. $$[4, +\infty)$$
5. 已知 $$\overrightarrow{AB} = (1, 2, 3)$$，$$\overrightarrow{CB} = (1, 0, 1)$$，求 $$\overrightarrow{\mu}$$ 使得 $$\overrightarrow{\mu} \perp \overrightarrow{AB}$$ 且 $$\overrightarrow{\mu} \perp \overrightarrow{CB}$$。
即 $$\overrightarrow{\mu}$$ 与 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{CB}$$ 的数量积均为零。
设 $$\overrightarrow{\mu} = (a, b, c)$$，则：
$$a + 2b + 3c = 0$$
$$a + 0 \cdot b + c = 0$$，即 $$a + c = 0$$。
由第二式得 $$a = -c$$，代入第一式：$$-c + 2b + 3c = 0$$，即 $$2b + 2c = 0$$，$$b = -c$$。
所以 $$\overrightarrow{\mu} = (-c, -c, c) = c(-1, -1, 1)$$。
对比选项，$$(1, -1, -1)$$ 与 $$(-1, -1, 1)$$ 成比例。
答案：C. $$(1, -1, -1)$$
6. 在棱长为 2 的正四面体 $$ABCD$$ 中，$$E$$ 为 $$BC$$ 中点，$$F$$ 为 $$AD$$ 中点，求 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CF}$$。
建立坐标系：设 $$A = (0, 0, 0)$$，$$B = (2, 0, 0)$$，$$C = (1, \sqrt{3}, 0)$$，$$D = (1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$$。
计算各点坐标：
$$E$$ 为 $$BC$$ 中点：$$E = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$$
$$F$$ 为 $$AD$$ 中点：$$F = \left( \frac{0+1}{2}, \frac{0+\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}, \frac{0+\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$$
$$\overrightarrow{AE} = E - A = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$$
$$\overrightarrow{CF} = F - C = \left( \frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{6} - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{6}}{3} - 0 \right) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{5\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$$
数量积：$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CF} = \frac{3}{2} \times \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left( -\frac{5\sqrt{3}}{6} \right) + 0 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{3}{4} - \frac{5 \times 3}{12} = -\frac{3}{4} - \frac{15}{12} = -\frac{9}{12} - \frac{15}{12} = -\frac{24}{12} = -2$$
答案：D. $$-2$$
7. 在正三棱柱 $$ABC-A_1B_1C_1$$ 中，侧棱长为 2，底面边长为 1，$$M$$ 为 $$BC$$ 中点，$$\overrightarrow{C_1N} = \lambda \overrightarrow{NC}$$（$$\lambda > 0$$），且 $$AB_1 \perp MN$$，求 $$\lambda$$。
建立坐标系：设 $$A = (0, 0, 0)$$，$$B = (1, 0, 0)$$，$$C = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$$，$$A_1 = (0, 0, 2)$$，$$B_1 = (1, 0, 2)$$，$$C_1 = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \right)$$。
$$M$$ 为 $$BC$$ 中点：$$M = \left( \frac{1 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0 \right)$$
由 $$\overrightarrow{C_1N} = \lambda \overrightarrow{NC}$$，得 $$N$$ 分 $$C_1C$$ 的比为 $$\lambda$$。
$$C_1 = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \right)$$，$$C = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$$，所以 $$N = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{2}{1+\lambda} \right)$$。
$$\overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (1, 0, 2)$$
$$\overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{2}{1+\lambda} - 0 \right) = \left( -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{2}{1+\lambda} \right)$$
由 $$AB_1 \perp MN$$，数量积为零：
$$1 \times \left( -\frac{1}{4} \right) + 0 \times \frac{\sqrt{3}}{4} + 2 \times \frac{2}{1+\lambda} = 0$$
即 $$-\frac{1}{4} + \frac{4}{1+\lambda} = 0$$，$$\frac{4}{1+\lambda} = \frac{1}{4}$$，$$1+\lambda = 16$$，$$\lambda = 15$$。
答案：C. $$15$$
8. 已知 $$\overrightarrow{a} = (1, 2, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, 2, 3)$$，求数量积 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 2 + 2 \times 2 + 1 \times 3 = 2 + 4 + 3 = 9$$。
答案：C. $$9$$
9. 已知 $$\overrightarrow{a} = (2, 1, -1)$$，$$\overrightarrow{b} = (-3, x, y)$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$。
数量积为零：$$2 \times (-3) + 1 \times x + (-1) \times y = 0$$，即 $$-6 + x - y = 0$$。
所以 $$x - y = 6$$。
答案：D. $$6$$