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正确率40.0%堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》卷第五“商功”.在堑堵$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$A B=A C$$$$= A A_{1}=2，$$$${{P}}$$为$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A C_{1}} \cdot\overrightarrow{B P}=$$（）
A
A.$${{6}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
2、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%已知正四面体$$A-B C D$$的棱长为$$1， \， \bigtriangleup A B C$$的重心为$${{G}{，}}$$则线段$${{D}{G}}$$的长为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
3、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，设$$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}， \ \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}， \ \overrightarrow{A A_{1}}=\boldsymbol{c}，$$则$$\boldsymbol{a} \cdot( \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} )=$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['空间向量数量积的性质']正确率80.0%在平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，其中$$A B=B C=B B_{1}=1$$，$$\angle A B B_{1}=\angle A B C=\angle B_{1} B C=\frac{\pi} {3}$$，$$\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{B D_{1}}$$，则$$| B_{1} E |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
B
A.$${{2}{5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${\sqrt {{1}{4}}}$$
5、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%若$$\overrightarrow{A B}=( 1， 2， 3 ) \，， \， \， \， \overrightarrow{C B}=( 1， 0， 1 ) \，，$$向量$${{μ}^{→}}$$满足$$\overrightarrow{\mu} \perp\overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{\mu} \perp\overrightarrow{C B}，$$则$${{μ}^{→}}$$可以是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 1， 1， 1 )$$
B.$$( 1， 1，-1 )$$
C.$$( 1，-1，-1 )$$
D.$$(-1， 1， 1 )$$
6、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%已知$$\overrightarrow{a}=\left( 1，-3， \lambda\right)， \; \; \overrightarrow{b}=\left( 2， 4，-5 \right)，$$若$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{λ}{=}}$$（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{3}}$$
8、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{2}， \operatorname{l g} 2， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2 \sqrt{2}， 1， \operatorname{l g} 5 )，$$则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=($$）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}{+}{{l}{g}}{7}}$$
D.$${{6}}$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( x，-4，-5 )， \， \overrightarrow{b}=( 1，-2， 2 )$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为$$- \frac{\sqrt{2}} {6}$$，则实数$${{x}}$$的值为$${{(}}$$$${{)}}$$
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$或$${{1}{1}}$$
1. 堑堵问题：已知 $$AB = AC = AA_1 = 2$$，$$P$$ 为 $$B_1C_1$$ 的中点，求 $$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{BP}$$。
建立坐标系：设 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，则 $$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(0,2,2)$$，$$P(1,1,2)$$。
向量 $$\overrightarrow{AC_1} = (0,2,2)$$，$$\overrightarrow{BP} = (-1,1,2)$$。
点积：$$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \times (-1) + 2 \times 1 + 2 \times 2 = 0 + 2 + 4 = 6$$。
答案：A. $$6$$
2. 正四面体 $$A-BCD$$ 棱长为 $$1$$，$$\triangle ABC$$ 的重心为 $$G$$，求 $$DG$$ 长度。
设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$，$$D$$ 坐标需满足正四面体条件。
通常设 $$D(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$$。
重心 $$G$$ 坐标：$$G = \frac{A + B + C}{3} = (\frac{1.5}{3}, \frac{\sqrt{3}/2}{3}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0)$$。
向量 $$\overrightarrow{DG} = G - D = (0, 0, -\frac{\sqrt{6}}{3})$$，模长 $$|\overrightarrow{DG}| = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案：D. $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$
3. 正方体棱长为 $$1$$，$$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$$，求 $$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$$。
$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$（垂直），$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 0$$（垂直），所以 $$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = 0 + 0 = 0$$。
答案：B. $$0$$
4. 平行六面体 $$AB = BC = BB_1 = 1$$，$$\angle ABB_1 = \angle ABC = \angle B_1BC = \frac{\pi}{3}$$，$$\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{BD_1}$$，求 $$|B_1E|$$。
设 $$B(0,0,0)$$，$$\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{u}$$，$$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{v}$$，$$\overrightarrow{BB_1} = \boldsymbol{w}$$。
由条件，$$|\boldsymbol{u}| = |\boldsymbol{v}| = |\boldsymbol{w}| = 1$$，且 $$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{w} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$，$$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{2}$$，$$\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{2}$$。
$$\overrightarrow{BD_1} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}$$，$$\overrightarrow{AE} = 2(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} + \boldsymbol{w})$$。
$$E = A + \overrightarrow{AE} = (\boldsymbol{u} + 2\boldsymbol{u} + 2\boldsymbol{v} + 2\boldsymbol{w}) = 3\boldsymbol{u} + 2\boldsymbol{v} + 2\boldsymbol{w}$$（设 $$A$$ 在原点）。
$$B_1 = \boldsymbol{w}$$，$$\overrightarrow{B_1E} = E - B_1 = 3\boldsymbol{u} + 2\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}$$。
计算模平方：$$|3\boldsymbol{u} + 2\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}|^2 = 9|\boldsymbol{u}|^2 + 4|\boldsymbol{v}|^2 + |\boldsymbol{w}|^2 + 2 \times 3 \times 2 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} + 2 \times 3 \times 1 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{w} + 2 \times 2 \times 1 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} = 9 + 4 + 1 + 12 \times \frac{1}{2} + 6 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{2} = 14 + 6 + 3 + 2 = 25$$。
所以 $$|B_1E| = 5$$。
答案：B. $$5$$
5. 已知 $$\overrightarrow{AB} = (1,2,3)$$，$$\overrightarrow{CB} = (1,0,1)$$，求 $$\overrightarrow{\mu}$$ 满足 $$\overrightarrow{\mu} \perp \overrightarrow{AB}$$ 且 $$\overrightarrow{\mu} \perp \overrightarrow{CB}$$。
$$\overrightarrow{\mu}$$ 应为 $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CB}$$ 的平行向量。
叉积：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CB} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(2 \times 1 - 3 \times 0) - \boldsymbol{j}(1 \times 1 - 3 \times 1) + \boldsymbol{k}(1 \times 0 - 2 \times 1) = (2, -(-2), -2) = (2, 2, -2)$$。
所以 $$\overrightarrow{\mu}$$ 可为 $$(1,1,-1)$$（除以2）。
答案：B. $$(1,1,-1)$$
6. 已知 $$\overrightarrow{a} = (1,-3,\lambda)$$，$$\overrightarrow{b} = (2,4,-5)$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，求 $$\lambda$$。
点积为零：$$1 \times 2 + (-3) \times 4 + \lambda \times (-5) = 2 - 12 - 5\lambda = 0$$。
解得：$$-10 - 5\lambda = 0$$，$$\lambda = -2$$。
答案：C. $$-2$$
8. 已知 $$\overrightarrow{a} = (\sqrt{2}, \lg 2, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (2\sqrt{2}, 1, \lg 5)$$，求 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$。
点积：$$\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} + \lg 2 \times 1 + 1 \times \lg 5 = 2 \times 2 + \lg 2 + \lg 5 = 4 + \lg(2 \times 5) = 4 + \lg 10 = 4 + 1 = 5$$。
答案：A. $$5$$
10. 已知 $$\overrightarrow{a} = (x,-4,-5)$$，$$\overrightarrow{b} = (1,-2,2)$$，夹角余弦为 $$- \frac{\sqrt{2}}{6}$$，求 $$x$$。
点积公式：$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = - \frac{\sqrt{2}}{6}$$。
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x \times 1 + (-4) \times (-2) + (-5) \times 2 = x + 8 - 10 = x - 2$$。
$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{x^2 + 16 + 25} = \sqrt{x^2 + 41}$$。
$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$。
代入：$$\frac{x - 2}{3 \sqrt{x^2 + 41}} = - \frac{\sqrt{2}}{6}$$。
两边乘以 $$6 \sqrt{x^2 + 41}$$：$$2(x - 2) = - \sqrt{2} \sqrt{x^2 + 41}$$。
平方：$$4(x - 2)^2 = 2(x^2 + 41)$$，即 $$2(x - 2)^2 = x^2 + 41$$。
展开：$$2(x^2 - 4x + 4) = x^2 + 41$$，$$2x^2 - 8x + 8 = x^2 + 41$$，$$x^2 - 8x - 33 = 0$$。
解方程：$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 132}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{8 \pm 14}{2}$$，所以 $$x = 11$$ 或 $$x = -3$$。
验证：代入原式，均满足（注意平方可能增根，但此处均符合负号条件）。
答案：D. $$-3$$ 或 $$11$$