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正确率60.0%在正三棱锥$$P-A B C$$中$$， \， \， P A=A B=4，$$点$${{D}{，}{E}}$$分别是棱$$P C， ~ A B$$的中点，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{P E}=$$（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{−}{8}}$$
D.$${{−}{{1}{0}}}$$
2、['二面角'， '空间向量的数量积'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率40.0%把边长为$${{1}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{B}{D}}$$折成直二面角，若点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D}，$$则$$\left| \overrightarrow{B P} \right|^{2}=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$$3+\frac{\sqrt6} {2}$$
3、['空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 2， 5 )$$，$$\overrightarrow{b}=( 1， x，-1 )$$，且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，则$${{x}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$\boldsymbol{a}=( 0， 1， 1 )， \boldsymbol{b}=(-2， \boldsymbol{2}， 0 )，$$则向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
5、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
6、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( x， 4， 5 )， \overrightarrow{b}=( 1，-2， 2 )，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{\sqrt{2}} {6}，$$那么$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{-}{3}}$$
C.$${{-}{{1}{1}}}$$
D.$${{3}}$$或$${{-}{{1}{1}}}$$
7、['空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$a=(-3， 2， 5 )， \; \; b=( 1， x，-1 )$$，且$$a \cdot b=2$$，则$${{x}}$$的值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{6}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
8、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率0.0%点$${{M}}$$是棱长为$${{3}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中棱$${{A}{B}}$$的中点，$$\overrightarrow{C N}=2 \overrightarrow{N C_{1}}$$，动点$${{P}}$$在正方形$$A A_{1} D_{1} D ($$包括边界$${{)}}$$内运动，且$${{P}{{B}_{1}}{/}{/}}$$平面$${{D}{M}{N}}$$，则$${{P}{C}}$$的长度范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ \sqrt{1 3}， \sqrt{1 9} ]$$
B.$$[ \frac{3 \sqrt{3 5}} {5}， \sqrt{1 9} ]$$
C.$$[ 2 \sqrt{3}， \sqrt{1 9} ]$$
D.$$[ \frac{3 \sqrt{3 9}} {5}， \sqrt{1 9} ]$$
9、['空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( 1， \lambda， 0 )$$，$$\vec{b}=( 2，-1， 2 )$$，且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角余弦值为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$，则实数$${{λ}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$${{0}}$$或$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{0}}$$或$$\frac{4} {3}$$
10、['空间向量的数量积']正确率80.0%空间直角坐标系中，已知$$A ( 1，-2， 3 )$$，$$B ( 3， 2，-5 )$$，则线段$${{A}{B}}$$的中点为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-1，-2， 4 )$$
B.$$(-2， 0， 1 )$$
C.$$( 2， 0，-2 )$$
D.$$( 2， 0，-1 )$$
1. 解析：
首先建立坐标系，设点 $$A$$ 在原点 $$(0, 0, 0)$$，$$B$$ 在 $$(4, 0, 0)$$，$$C$$ 在 $$(2, 2\sqrt{3}, 0)$$。由于 $$P-A B C$$ 是正三棱锥且 $$P A=4$$，设 $$P$$ 的坐标为 $$(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, h)$$，由距离公式得 $$h = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$。
点 $$D$$ 是 $$P C$$ 的中点，坐标为 $$\left(\frac{2+2}{2}, \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}}{2}, \frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}+0}{2}\right) = (2, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$$。
点 $$E$$ 是 $$A B$$ 的中点，坐标为 $$(2, 0, 0)$$。
向量 $$\overrightarrow{A D} = (2, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$$，向量 $$\overrightarrow{P E} = (0, -\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{3})$$。
点积为 $$\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{P E} = 2 \times 0 + \frac{4\sqrt{3}}{3} \times \left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{2\sqrt{6}}{3} \times \left(-\frac{4\sqrt{6}}{3}\right) = -4$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 解析：
设正方形 $$A B C D$$ 的顶点坐标为 $$A(1, 0, 0)$$，$$B(0, 0, 0)$$，$$C(0, 1, 0)$$，$$D(1, 1, 0)$$。折叠后，$$A$$ 和 $$C$$ 分别移动到 $$A'(1, 0, 0)$$ 和 $$C'(0, 1, 0)$$，$$D$$ 移动到 $$D'\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{B P} = \overrightarrow{B A'} - \overrightarrow{B C'} + \overrightarrow{B D'} = (1, 0, 0) - (0, 1, 0) + \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$。
模的平方为 $$\left|\overrightarrow{B P}\right|^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 3$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
3. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 垂直，点积为 $$0$$：
$$(-3) \times 1 + 2 \times x + 5 \times (-1) = 0$$
解得 $$-3 + 2x -5 = 0$$，即 $$2x = 8$$，$$x = 4$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
4. 解析：
向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 的点积为 $$0 \times (-2) + 1 \times 2 + 1 \times 0 = 2$$。
$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$，$$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$。
夹角的余弦为 $$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = 60^\circ$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
6. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角的余弦公式为：
$$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
计算点积和模：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x \times 1 + 4 \times (-2) + 5 \times 2 = x -8 +10 = x +2$$
$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$
$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + 16 + 25} = \sqrt{x^2 + 41}$$
代入公式得 $$\frac{x +2}{3 \sqrt{x^2 + 41}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$，平方后整理得：
$$4(x+2)^2 = 2(x^2 + 41)$$
解得 $$x^2 + 8x -33 = 0$$，$$x = 3$$ 或 $$x = -11$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
7. 解析：
向量 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 的点积为 $$-3 \times 1 + 2 \times x + 5 \times (-1) = 2$$。
化简得 $$-3 + 2x -5 = 2$$，即 $$2x = 10$$，$$x = 5$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 的夹角的余弦公式为：
$$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{2}{3}$$
计算点积和模：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 2 + \lambda \times (-1) + 0 \times 2 = 2 - \lambda$$
$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1 + \lambda^2 + 0} = \sqrt{1 + \lambda^2}$$
$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$
代入公式得 $$\frac{2 - \lambda}{3 \sqrt{1 + \lambda^2}} = \frac{2}{3}$$，化简得：
$$2 - \lambda = 2 \sqrt{1 + \lambda^2}$$
平方后解得 $$\lambda = 0$$ 或 $$\lambda = -\frac{4}{3}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10. 解析：
点 $$A(1, -2, 3)$$ 和点 $$B(3, 2, -5)$$ 的中点坐标为：
$$\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+2}{2}, \frac{3-5}{2}\right) = (2, 0, -1)$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。