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正确率40.0%当动点$${{P}}$$在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的体对角线$${{A}_{1}{C}}$$上运动时，异面直线$${{B}{P}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成角的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {3} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} )$$
2、['向量的模'， '空间向量基本定理的应用'， '二面角'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {7}}$$
D.$${{3}}$$
3、['向量的模'， '数量积的运算律'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 0， 3， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-1， 1， 0 )，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为 （）
C
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
4、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \enskip0， \enskip2 )， \enskip\boldsymbol{b}=( x， \enskip2， \enskip2 )，$$且$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=6，$$则向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
5、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率80.0%svg异常
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
6、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知两平面的法向量分别为$$\overrightarrow{m}=( 1，-1， 0 )， \; \; \overrightarrow{n}=( 0， 1，-1 )，$$则两平面的夹角为（）
A
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$或$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 1， n )，$$且$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=3，$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\pi} {6}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {6}$$或$$\frac{5 \pi} {6}$$
8、['空间向量的夹角']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
9、['空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-4， 2， t )$$的夹角为钝角，则实数$${{t}}$$的取值范围为
D
A.$$(-\infty，-6 )$$
B.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( {\frac{1 0} {3}}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-6 ) \cup(-6， \frac{1 0} {3} )$$
10、['空间向量的夹角'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%svg异常
C
A.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {1 5}$$
D.$$\frac{\sqrt{2 1 0}} {1 5}$$
1. 设正方体边长为1，建立坐标系。$$A_1(0,0,0)$$，$$C(1,1,1)$$，$$B(1,0,0)$$，$$AD_1$$的方向向量为$$(0,1,1)$$。参数化$$P$$为$$(t,t,t)$$，$$BP$$方向向量为$$(t-1,t,t)$$。设夹角为$$\theta$$，则： $$cos\theta = \frac{|t|}{\sqrt{(t-1)^2 + t^2 + t^2} \cdot \sqrt{2}}$$ 分析极值点可得$$\theta \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$，故选B。
3. 计算向量点积和模长： $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \times (-1) + 3 \times 1 + 3 \times 0 = 3$$ $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$$ $$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$cos\theta = \frac{3}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ 故$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选C。
4. 由$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 6$$得： $$1 \times x + 0 \times 2 + 2 \times 2 = 6 \Rightarrow x = 2$$ 计算模长和夹角： $$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$ $$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{3}$$ $$cos\theta = \frac{6}{\sqrt{5} \times 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$ 选C。
6. 计算法向量夹角： $$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \times 0 + (-1) \times 1 + 0 \times (-1) = -1$$ $$|\overrightarrow{m}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$ $$cos\theta = \frac{-1}{2} \Rightarrow \theta = 120^\circ$$ 但两平面夹角取锐角，故为$$60^\circ$$，选A。
7. 由$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$得： $$1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times n = 3 \Rightarrow n = 2$$ 计算夹角： $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$$ $$cos\theta = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$$ 选A。
9. 夹角为钝角需满足： $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0 \quad \text{且不共线}$$ $$2 \times (-4) + (-1) \times 2 + 3 \times t = -10 + 3t < 0 \Rightarrow t < \frac{10}{3}$$ 排除共线情况$$t = -6$$，故$$t \in (-\infty, -6) \cup (-6, \frac{10}{3})$$，选D。