空间向量的夹角-1.1 空间向量及其运算知识点月考进阶选择题自测题解析-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 已知向量 $$\boldsymbol{a}=(2,-1,2)$$，$$\boldsymbol{b}=(2,2,1)$$，以 $$\boldsymbol{a}$$、$$\boldsymbol{b}$$ 为邻边的平行四边形面积等于 $$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$$。

计算叉积：$$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \times 1 - 2 \times 2)\boldsymbol{i} - (2 \times 1 - 2 \times 2)\boldsymbol{j} + (2 \times 2 - (-1) \times 2)\boldsymbol{k} = (-1-4)\boldsymbol{i} - (2-4)\boldsymbol{j} + (4+2)\boldsymbol{k} = (-5, 2, 6)$$

模长：$$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{25+4+36} = \sqrt{65}$$

答案：A. $$\sqrt{65}$$

2. 设正方体棱长为 1，建立坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$。

体对角线 $$A_1C$$ 参数方程：$$P = A_1 + t(C - A_1) = (0,0,1) + t(1,1,0) = (t, t, 1)$$，$$t \in [0,1]$$。

向量 $$\overrightarrow{BP} = (t-1, t, 1)$$，$$\overrightarrow{AD_1} = (0,1,1)$$。

设异面直线夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{AD_1}|}{|\overrightarrow{BP}| |\overrightarrow{AD_1}|} = \frac{|0 \cdot (t-1) + 1 \cdot t + 1 \cdot 1|}{\sqrt{(t-1)^2 + t^2 + 1} \cdot \sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{|t+1|}{\sqrt{2t^2 - 2t + 2} \cdot \sqrt{2}}$$

令 $$f(t) = \frac{t+1}{\sqrt{2(2t^2 - 2t + 2)}} = \frac{t+1}{\sqrt{4t^2 - 4t + 4}} = \frac{t+1}{2\sqrt{t^2 - t + 1}}$$，$$t \in [0,1]$$。

求导得极值点 $$t = \frac{1}{2}$$，计算 $$f(0) = \frac{1}{2}$$，$$f(1) = \frac{2}{2\sqrt{1}} = 1$$，$$f(\frac{1}{2}) = \frac{1.5}{2\sqrt{0.75}} = \frac{1.5}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。

所以 $$\cos \theta \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$$，对应 $$\theta \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$。

答案：B. $$[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$

3. 已知 $$\boldsymbol{a} = (x, -4, -5)$$，$$\boldsymbol{b} = (1, -2, 2)$$，$$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = -\frac{\sqrt{2}}{6}$$。

由公式：$$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}$$

计算：$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x \cdot 1 + (-4) \cdot (-2) + (-5) \cdot 2 = x + 8 - 10 = x - 2$$

$$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$$

$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{x^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{x^2 + 16 + 25} = \sqrt{x^2 + 41}$$

代入：$$-\frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{x - 2}{3 \sqrt{x^2 + 41}}$$

两边平方：$$\frac{2}{36} = \frac{(x-2)^2}{9(x^2+41)} \Rightarrow \frac{1}{18} = \frac{(x-2)^2}{9(x^2+41)} \Rightarrow 1 = \frac{2(x-2)^2}{x^2+41}$$

整理：$$x^2 + 41 = 2(x^2 - 4x + 4) \Rightarrow x^2 + 41 = 2x^2 - 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 8x - 33 = 0$$

解得：$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 132}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{8 \pm 14}{2}$$，即 $$x = 11$$ 或 $$x = -3$$。

答案：D. $$-3$$ 或 $$11$$

4. 已知 $$\overrightarrow{AB} = (2,4,0)$$，$$\overrightarrow{BC} = (-1,3,0)$$，求 $$\angle ABC$$。

注意 $$\angle ABC$$ 是向量 $$\overrightarrow{BA}$$ 与 $$\overrightarrow{BC}$$ 的夹角，但 $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (-2,-4,0)$$。

计算：$$\cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{(-2)(-1) + (-4)(3) + 0 \cdot 0}{\sqrt{4+16} \cdot \sqrt{1+9}} = \frac{2 - 12}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-10}{\sqrt{200}} = \frac{-10}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

所以 $$\angle ABC = 135^\circ$$。

答案：A. $$135^\circ$$

5. 正三棱锥 $$A-PBC$$ 中，侧棱 $$AP, AB, AC$$ 两两垂直，设 $$AP = AB = AC = 1$$。

建立坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$P(1,0,0)$$，$$B(0,1,0)$$，$$C(0,0,1)$$。

$$D$$ 为 $$PA$$ 中点：$$D(\frac{1}{2}, 0, 0)$$；$$E$$ 为 $$BC$$ 中点：$$E(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$。

向量 $$\overrightarrow{PC} = C - P = (-1, 0, 1)$$，$$\overrightarrow{DE} = E - D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$。

夹角余弦：$$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{PC}| |\overrightarrow{DE}|} = \frac{|(-1)(-\frac{1}{2}) + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2}|}{\sqrt{1+0+1} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

答案：D. $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$

6. 已知 $$\overrightarrow{a} = (1,1,1)$$，$$\overrightarrow{b} = (0,y,1)$$，$$0 \leq y \leq 1$$。

计算：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot y + 1 \cdot 1 = y + 1$$

$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{0 + y^2 + 1} = \sqrt{y^2 + 1}$$

$$\cos \langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \rangle = \frac{y+1}{\sqrt{3} \sqrt{y^2+1}}$$

令 $$f(y) = \frac{y+1}{\sqrt{y^2+1}}$$，求最大值。

平方：$$g(y) = \frac{(y+1)^2}{y^2+1}$$，求导：$$g'(y) = \frac{2(y+1)(y^2+1) - (y+1)^2 \cdot 2y}{(y^2+1)^2} = \frac{2(y+1)[y^2+1 - y(y+1)]}{(y^2+1)^2} = \frac{2(y+1)(y^2+1 - y^2 - y)}{(y^2+1)^2} = \frac{2(y+1)(1-y)}{(y^2+1)^2}$$

令 $$g'(y) = 0$$ 得 $$y = 1$$ 或 $$y = -1$$（舍去负值）。

在 $$y=0$$ 时：$$f(0) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$$；在 $$y=1$$ 时：$$f(1) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$。

所以最大值为 $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。

答案：D. $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$

8. 正方体 $$ABCD-A'B'C'D'$$，设棱长为 1。

取坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A'(0,0,1)$$，$$B'(1,0,1)$$，$$C'(1,1,1)$$，$$D'(0,1,1)$$。

$$\overrightarrow{A'B} = B - A' = (1,0,0) - (0,0,1) = (1,0,-1)$$

$$\overrightarrow{B'D'} = D' - B' = (0,1,1) - (1,0,1) = (-1,1,0)$$

点积：$$\overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{B'D'} = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = -1$$

模长：$$|\overrightarrow{A'B}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{B'D'}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$$

$$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = 120^\circ$$。

答案：D. $$120^\circ$$

9. 已知 $$\overrightarrow{a} = (0,2,1)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1,1,-2)$$。

点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0 + 2 - 2 = 0$$

所以夹角为 $$90^\circ$$。

答案：C. $$90^\circ$$

10. 已知 $$\overrightarrow{a} = (0,1,1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1,0,1)$$。

点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$$

模长：$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$$，$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$$

$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = 60^\circ$$。

答案：A. $$60^\circ$$