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正确率40.0%在三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中$${{A}{B}{=}{A}{C}{=}{1}{，}{D}{B}{=}{D}{C}{=}{2}{，}{A}{D}{=}{B}{C}{=}{\sqrt {3}}}$$，则三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$的外接球的表面积为（）
D
A.$${{π}}$$
B.$$\frac{7 \pi} {4}$$
C.$${{4}{π}}$$
D.$${{7}{π}}$$
2、['向量的模'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知空间三点$${{A}{(}{0}{，}{2}{，}{3}{)}{，}{B}{(}{1}{，}{2}{，}{4}{)}{，}{C}{(}{1}{，}{3}{，}{4}{)}}$$，则三角形$${{A}{B}{C}}$$的面积为（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
3、['空间直角坐标系'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知$${{A}{(}{1}{，}{1}{，}{−}{1}{)}}$$关于平面$${{x}{O}{z}}$$对称点为$${{A}_{1}}$$，则$${{A}_{1}}$$到坐标原点$${{O}}$$的距离是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{6}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{3}}$$
4、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%在空间直角坐标系中，点$${{P}{（}{1}{，}{2}{，}{3}{）}}$$与点$${{Q}{（}{2}{，}{1}{，}{2}{）}}$$之间的距离为（）
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${^{3}\sqrt {3}}$$
D.$${{1}}$$
5、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知空间两点$${{A}{（}{1}{，}{2}{，}{z}{）}{，}{B}{（}{2}{，}{−}{1}{，}{1}{）}}$$之间的距离为$${\sqrt {{1}{1}}{，}}$$则$${{z}{=}{（}}$$）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{0}}$$或$${{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$或$${{1}}$$
6、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知空间中的两点$${{A}{(}{1}{，}{2}{，}{3}{)}{，}{B}{(}{3}{，}{2}{，}{a}{)}}$$，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{2}{\sqrt {5}}}$$，则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$${{7}}$$或$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{7}}$$或$${{1}}$$
C.$${{0}}$$或$${{2}}$$
D.$${{2}}$$或$${{4}}$$
7、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率40.0%已知实数$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$满足$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{{z}^{2}}{=}{1}}$$，则$${\sqrt {{(}{x}{−}{3}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{5}{{)}^{2}}}}$$的范围是（）
D
A.$${{[}{6}{，}{5}{\sqrt {2}}{]}}$$
B.$${{[}{5}{\sqrt {2}}{−}{1}{，}{8}{]}}$$
C.$${{[}{6}{，}{8}{]}}$$
D.$${{[}{5}{\sqrt {2}}{−}{1}{，}{5}{\sqrt {2}}{+}{1}{]}}$$
8、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率40.0%已知三棱锥$${{P}{－}{A}{B}{C}}$$中，侧面$${{P}{A}{C}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}{，}{∠}{B}{A}{C}{＝}{{9}{0}}{，}{A}{B}{＝}{A}{C}{＝}{4}{，}{{P}{A}}{=}{\sqrt {{1}{0}}}{，}{{P}{C}}{=}{\sqrt {2}}}$$，则三棱锥$${{P}{－}{A}{B}{C}}$$外接球的表面积为（）
D
A.$${{2}{4}{π}}$$
B.$${{2}{8}{π}}$$
C.$${{3}{2}{π}}$$
D.$${{3}{6}{π}}$$
9、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知空间直角坐标系中$${{A}{（}{2}{，}{−}{1}{，}{−}{2}{）}{，}{B}{（}{3}{，}{2}{，}{1}{）}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}{=}{（}{（}}$$）
B
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {{1}{9}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{1}}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知点$${{A}{(}{1}{，}{−}{2}{，}{{1}{1}}{)}{，}{B}{(}{4}{，}{2}{，}{3}{)}{，}{C}{(}{6}{，}{−}{1}{，}{4}{)}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
C
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
1. 解析：
首先确定三棱锥的外接球半径。已知 $$AB=AC=1$$，$$DB=DC=2$$，$$AD=BC=\sqrt{3}$$。通过坐标系法，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(0,1,0)$$，$$D(x,y,z)$$。根据距离公式：
$$DB=2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 4$$
$$DC=2 \Rightarrow x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 4$$
$$AD=\sqrt{3} \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 3$$
解得 $$x = \frac{1}{2}$$，$$y = \frac{1}{2}$$，$$z = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$$。外接球半径 $$R$$ 满足：
$$R = \frac{AD}{2 \sin \theta}$$，其中 $$\theta$$ 为 $$AD$$ 与底面的夹角。计算得 $$R = \frac{\sqrt{7}}{2}$$，表面积为 $$4\pi R^2 = 7\pi$$。
答案：D
2. 解析：
已知点 $$A(0,2,3)$$，$$B(1,2,4)$$，$$C(1,3,4)$$。向量 $$\overrightarrow{AB} = (1,0,1)$$，$$\overrightarrow{AC} = (1,1,1)$$。叉积 $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-1,0,1)$$，模长为 $$\sqrt{2}$$。三角形面积：
$$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
答案：A
3. 解析：
点 $$A(1,1,-1)$$ 关于平面 $$xOz$$ 对称点为 $$A_1(1,-1,-1)$$。距离原点：
$$|OA_1| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$$。
答案：B
4. 解析：
点 $$P(1,2,3)$$ 与 $$Q(2,1,2)$$ 的距离：
$$PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$。
答案：A
5. 解析：
点 $$A(1,2,z)$$ 与 $$B(2,-1,1)$$ 的距离为 $$\sqrt{11}$$：
$$\sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2 + (1-z)^2} = \sqrt{11}$$
解得 $$(1-z)^2 = 1$$，故 $$z = 0$$ 或 $$2$$。
答案：B
6. 解析：
点 $$A(1,2,3)$$ 与 $$B(3,2,a)$$ 的距离为 $$2\sqrt{5}$$：
$$\sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2 + (a-3)^2} = 2\sqrt{5}$$
解得 $$(a-3)^2 = 16$$，故 $$a = 7$$ 或 $$-1$$。
答案：A
7. 解析：
点 $$(x,y,z)$$ 在单位球上，求到点 $$(3,4,5)$$ 的距离范围。距离公式：
$$\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2}$$
最小值为 $$\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} - 1 = 5\sqrt{2} - 1$$，最大值为 $$5\sqrt{2} + 1$$。
答案：D
8. 解析：
三棱锥 $$P-ABC$$ 中，侧面 $$PAC \perp$$ 底面 $$ABC$$，$$AB=AC=4$$，$$PA=\sqrt{10}$$，$$PC=\sqrt{2}$$。通过坐标系法，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(4,0,0)$$，$$C(0,4,0)$$，$$P(x,y,z)$$。解得外接球半径 $$R = \sqrt{6}$$，表面积为 $$24\pi$$。
答案：A
9. 解析：
点 $$A(2,-1,-2)$$ 与 $$B(3,2,1)$$ 的距离：
$$AB = \sqrt{(3-2)^2 + (2-(-1))^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$$。
答案：B
10. 解析：
点 $$A(1,-2,11)$$，$$B(4,2,3)$$，$$C(6,-1,4)$$。计算边长：
$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2 + (3-11)^2} = \sqrt{9 + 16 + 64} = \sqrt{89}$$
$$AC = \sqrt{(6-1)^2 + (-1-(-2))^2 + (4-11)^2} = \sqrt{25 + 1 + 49} = \sqrt{75}$$
$$BC = \sqrt{(6-4)^2 + (-1-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$
由于 $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ 不成立，且边长均不等，故为等腰三角形。
答案：A