空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直-1.3 空间向量及其运算的坐标表示知识点教师选题进阶自测题解析-福建省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

已知向量$$\overrightarrow{a}=(2,-3,5)$$，向量$$\overrightarrow{b}=(3,\lambda,\mu)$$，且$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则$$\lambda+\mu$$的值为（ ）。

由于两向量平行，存在实数$$k$$使得$$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$，即：

$$(3,\lambda,\mu)=k(2,-3,5)$$

得到方程组：

$$3=2k$$

$$\lambda=-3k$$

$$\mu=5k$$

由第一式解得：$$k=\frac{3}{2}$$

代入得：$$\lambda=-3\times\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$，$$\mu=5\times\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$$

所以：$$\lambda+\mu=-\frac{9}{2}+\frac{15}{2}=3$$

已知向量$$\overrightarrow{a}=(-1,2,\frac{1}{3})$$，下列向量中与$$\overrightarrow{a}$$平行的向量是（ ）。

两向量平行的充要条件是存在实数$$k$$使得$$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$

检验各选项：

A.$$(-1,2,-\frac{1}{3})$$：$$-\frac{1}{3}\ne k\times\frac{1}{3}$$，不平行

B.$$(5,-10,-\frac{5}{3})$$：$$5=k\times(-1)\Rightarrow k=-5$$，$$-10=k\times2\Rightarrow k=-5$$，$$-\frac{5}{3}=k\times\frac{1}{3}\Rightarrow k=-5$$，成立

C.$$(-5,10,-\frac{5}{3})$$：$$-\frac{5}{3}\ne k\times\frac{1}{3}$$，不平行

D.$$(3,-6,1)$$：$$1\ne k\times\frac{1}{3}$$，不平行

已知向量$$\overrightarrow{a}=(2,-3,1)$$，$$\overrightarrow{b}=(-4,2,x)$$，且$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，则$$x$$的值为（ ）。

两向量垂直的充要条件是点积为0：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$$

计算点积：$$2\times(-4)+(-3)\times2+1\times x=0$$

$$-8-6+x=0$$

$$x=14$$

已知向量$$\overrightarrow{a}=(2,-1,3)$$，$$\overrightarrow{b}=(-4,2,x)$$，使$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$成立的$$x$$与使$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$成立的$$x$$分别为（ ）。

垂直情况：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$$

$$2\times(-4)+(-1)\times2+3\times x=0$$

$$-8-2+3x=0$$

$$3x=10$$，$$x=\frac{10}{3}$$

平行情况：存在实数$$k$$使得$$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$

$$(-4,2,x)=k(2,-1,3)$$

得到：$$-4=2k$$，$$2=-k$$，$$x=3k$$

由前两式得$$k=-2$$，代入得$$x=3\times(-2)=-6$$

已知向量$$\overrightarrow{a}=(2,-1,3)$$，$$\overrightarrow{b}=(-4,2,x)$$，$$\overrightarrow{c}=(1,-x,2)$$，若$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{c}$$，则$$x$$的值为（ ）。

先计算$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2-4,-1+2,3+x)=(-2,1,3+x)$$

垂直条件：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}=0$$

$$(-2)\times1+1\times(-x)+(3+x)\times2=0$$

$$-2-x+6+2x=0$$

$$4+x=0$$

$$x=-4$$

设$$x,y \in R$$，向量$$\overrightarrow{a}=(x,1,1)$$，$$\overrightarrow{b}=(1,y,1)$$，$$\overrightarrow{c}=(2,-4,2)$$，且$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$$，$$\overrightarrow{b} \parallel \overrightarrow{c}$$，则$$x+y$$的值为（ ）。

由$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$$得：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=0$$

$$x\times2+1\times(-4)+1\times2=0$$

$$2x-4+2=0$$

$$2x=2$$，$$x=1$$

由$$\overrightarrow{b} \parallel \overrightarrow{c}$$得：存在实数$$k$$使得$$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{c}$$

$$(1,y,1)=k(2,-4,2)$$

得到：$$1=2k$$，$$y=-4k$$，$$1=2k$$

解得：$$k=\frac{1}{2}$$，$$y=-4\times\frac{1}{2}=-2$$

所以：$$x+y=1+(-2)=-1$$

若直线$$l$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}$$，平面$$\alpha$$的法向量为$$\overrightarrow{n}$$，则满足$$l \parallel \alpha$$的向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{n}$$可能为（ ）。

直线与平面平行的充要条件是方向向量与法向量垂直：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n}=0$$

检验各选项：

A.$$\overrightarrow{a}=(1,3,5)$$，$$\overrightarrow{n}=(1,0,1)$$：点积$$1\times1+3\times0+5\times1=6\ne0$$

B.$$\overrightarrow{a}=(1,0,0)$$，$$\overrightarrow{n}=(-2,0,0)$$：点积$$1\times(-2)+0\times0+0\times0=-2\ne0$$

C.$$\overrightarrow{a}=(1,-1,3)$$，$$\overrightarrow{n}=(0,3,1)$$：点积$$1\times0+(-1)\times3+3\times1=0$$

D.$$\overrightarrow{a}=(0,2,1)$$，$$\overrightarrow{n}=(-1,0,-1)$$：点积$$0\times(-1)+2\times0+1\times(-1)=-1\ne0$$

已知空间向量$$\overrightarrow{a}=(1,-2,3)$$，$$\overrightarrow{b}=(x,4,z)$$，若$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则$$x+2z$$的值为（ ）。

两向量平行，存在实数$$k$$使得$$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$

$$(x,4,z)=k(1,-2,3)$$

得到：$$x=k$$，$$4=-2k$$，$$z=3k$$

由第二式得：$$k=-2$$

代入得：$$x=-2$$，$$z=3\times(-2)=-6$$

所以：$$x+2z=-2+2\times(-6)=-2-12=-14$$