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正确率60.0%设$${{u}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{−}{1}{)}}$$是平面$${{α}}$$的一个法向量$${，{a}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{2}{)}}$$是直线$${{l}}$$的一个方向向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的位置关系是（）
A
A.平行或直线在平面内
B.不能确定
C.相交但不垂直
D.垂直
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%若向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{−}{2}{)}{，}{e}{/}{/}{a}}$$且$${{|}{e}{|}{=}{1}{，}}$$则$${{e}{=}}$$（）
A
A.$$\left( \frac{2} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \right.-\frac{2} {3} )$$或$$\left(-\frac{2} {3}， ~-\frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3} \right)$$
B.$$\left( \frac{2} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \right.-\frac{2} {3} )$$
C.$$\left(-\frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}， ~-\frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3} \right)$$或$$\left(-\frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3}， ~-\frac{2} {3} \right)$$
3、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率80.0%已知向量$${{a}{=}{(}{−}{1}{，}{2}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{3}{，}{x}{，}{y}{)}{，}}$$且$${{a}{/}{/}{b}{，}}$$那么$${{x}{y}{=}}$$（）
D
A.$${{−}{{1}{8}}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{−}{9}}$$
D.$${{1}{8}}$$
4、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率80.0%已知空间向量$${{a}{=}{(}{3}{，}{1}{，}{0}{)}{，}}$$$${{b}{=}{(}{x}{，}{−}{3}{，}{1}{)}{，}}$$且$${{a}{⊥}{b}{，}}$$则$${{x}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['立体几何中的探索问题'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率40.0%棱长为$${{2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{M}}$$是棱$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，点$${{P}}$$在侧面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$内，若$${{D}_{1}{P}}$$垂直于$${{C}{M}}$$，则$${{△}{P}{B}{C}}$$的面积的最小值为（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$${{1}}$$
6、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率60.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{=}}$$$${{(}{1}}$$，$${{0}}$$，$${{2}{)}}$$，平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}{=}}$$($${{−}{2}}$$，$${{1}}$$，$${{1}{)}}$$，则（）
C
A.$${{l}{/}{/}{a}}$$
B.$${{l}{⊥}{a}}$$
C.$${{l}{⊂}{a}}$$或$${{l}{/}{/}{a}}$$
D.$${{l}}$$与$${{a}}$$斜交
7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{=}{(}{−}{1}{，}{0}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{k}{)}{，}}$$若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$垂直，则实数$${{k}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%直线$${{l}_{1}{、}{{l}_{2}}}$$的方向向量分别为$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{3}{，}{−}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{8}{，}{2}{，}{2}{)}{，}}$$则（）
A
A.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$
B.$${{l}_{1}{/}{/}{{l}_{2}}}$$
C.$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$相交不平行
D.$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$重合
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{3}{)}{．}{{b}^{→}}{=}{(}{4}{，}{−}{2}{，}{1}{)}{，}{{c}^{→}}{=}{(}{−}{2}{，}{x}{，}{2}{)}{，}}$$若$${{(}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}{⊥}{{c}^{→}}}$$，则$${{x}{=}{（}}$$）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
10、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知$${{M}{(}{1}{，}{2}{，}{3}{)}{，}{N}{(}{2}{，}{3}{，}{4}{)}{，}{P}{(}{−}{1}{，}{2}{，}{−}{3}{)}}$$，若$$| \overrightarrow{P Q} |=3 | \overrightarrow{M N} |$$且$$\overrightarrow{P Q} / / \overrightarrow{M N}，$$则$${{Q}}$$点的坐标为（）
B
A.$${{(}{2}{，}{5}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{−}{4}{，}{−}{1}{，}{−}{6}{)}}$$或$${{(}{2}{，}{5}{，}{0}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{4}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{4}{，}{1}{)}}$$或$${{(}{−}{3}{，}{−}{2}{，}{−}{5}{)}}$$
1. 首先计算向量 $$u$$ 和 $$a$$ 的点积：$$u \cdot a = (2)(1) + (0)(0) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0$$。由于点积为 0，说明直线 $$l$$ 的方向向量 $$a$$ 与平面 $$α$$ 的法向量 $$u$$ 垂直，因此直线 $$l$$ 与平面 $$α$$ 平行或直线在平面内。选项 A 正确。
2. 向量 $$e$$ 与 $$a$$ 平行，故 $$e$$ 可以表示为 $$e = k(2, 1, -2)$$。由于 $$|e| = 1$$，计算 $$k$$：$$|k| \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \Rightarrow |k| \sqrt{9} = 1 \Rightarrow |k| = \frac{1}{3}$$。因此 $$e$$ 可以是 $$\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right)$$ 或 $$\left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$$。选项 A 正确。
3. 由于 $$a \parallel b$$，存在标量 $$k$$ 使得 $$b = k a$$，即 $$(3, x, y) = k(-1, 2, 1)$$。解得 $$k = -3$$，因此 $$x = 2k = -6$$，$$y = k = -3$$，所以 $$xy = (-6)(-3) = 18$$。选项 D 正确。
4. 由于 $$a \perp b$$，点积为 0：$$3x + 1 \cdot (-3) + 0 \cdot 1 = 0 \Rightarrow 3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$$。选项 C 正确。
5. 建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$D_1(0,2,2)$$，$$C(2,2,0)$$，$$M(2,0,1)$$。设 $$P(x, y, 0)$$ 在侧面 $$ABB_1A_1$$ 内，则 $$0 \leq x \leq 2$$，$$0 \leq y \leq 2$$。计算向量 $$\overrightarrow{D_1P} = (x, y-2, -2)$$ 和 $$\overrightarrow{CM} = (-2, -2, 1)$$。由于 $$\overrightarrow{D_1P} \perp \overrightarrow{CM}$$，点积为 0：$$-2x - 2(y-2) - 2 = 0 \Rightarrow -2x - 2y + 4 - 2 = 0 \Rightarrow x + y = 1$$。三角形 $$PBC$$ 的面积最小值为 $$\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。选项 B 正确。
6. 计算方向向量 $$a$$ 与法向量 $$n$$ 的点积：$$1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -2 + 0 + 2 = 0$$。由于点积为 0，说明直线 $$l$$ 与平面 $$α$$ 平行或直线在平面内。选项 C 正确。
7. 由于 $$a$$ 与 $$b$$ 垂直，点积为 0：$$-1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot k = 0 \Rightarrow -1 + k = 0 \Rightarrow k = 1$$。选项 A 正确。
8. 计算方向向量 $$a$$ 和 $$b$$ 的点积：$$1 \cdot 8 + (-3) \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = 8 - 6 - 2 = 0$$。由于点积为 0，说明两条直线垂直。选项 A 正确。
9. 计算 $$a - b = (-2, 2, 2)$$，由于 $$(a - b) \perp c$$，点积为 0：$$-2 \cdot (-2) + 2 \cdot x + 2 \cdot 2 = 0 \Rightarrow 4 + 2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4$$。选项 B 正确。
10. 计算 $$\overrightarrow{MN} = (1, 1, 1)$$，由于 $$\overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{MN}$$ 且 $$|\overrightarrow{PQ}| = 3|\overrightarrow{MN}| = 3\sqrt{3}$$，故 $$\overrightarrow{PQ} = \pm 3(1, 1, 1)$$。因此 $$Q$$ 点的坐标为 $$(-1 \pm 3, 2 \pm 3, -3 \pm 3)$$，即 $$(2, 5, 0)$$ 或 $$(-4, -1, -6)$$。选项 B 正确。