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正确率40.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \ 1， \ 1 )， \ b=( 0， \ y， \ 1 ) ( 0 \leq y \leq1 ).$$则$${{c}{o}{s}}$$〈$${{a}{，}{b}}$$〉的最大值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
2、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量共线定理']正确率60.0%若空间中三点$$A ( 4， ~ 1， ~ 3 )， ~ B ( 2， ~-5， ~ 1 )， ~ C ( m， ~ 4， ~ 4 )$$共线，则实数$${{m}{=}}$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量共线定理']正确率60.0%若空间中的三点$$A (-1， ~ 1， ~ 2 )， ~ B ( 0， ~ 3， ~ 5 )，$$$$C ( 1， ~ 5， ~ 4-k )$$在一条直线上，则实数$${{k}}$$的值是（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{4}}$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， 0，-1 )$$，$$\vec{b}=( 2， 1， 1 )$$，则$${{2}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}}$$等于$${{(}{)}}$$
A.$$( 4， 1，-1 )$$
B.$$( 4， 1， 1 )$$
C.$$( 3， 1， 1 )$$
D.$$( 3， 1， 0 )$$
5、['空间向量运算的坐标表示'， '空间直角坐标系中中点坐标公式'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%设$$\overrightarrow{O A}=\left( 1， 1，-2 \right)， \， \， \， \overrightarrow{O B}=\left( 3， 2， 8 \right)， \， \， \， \overrightarrow{O C}=\left( 0， 1， 0 \right)$$，则线段$${{A}{B}}$$的中点$${{P}}$$到点$${{C}}$$的距离为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5 3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{5 3}} {4}$$
D.$$\frac{5 3} {4}$$
6、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%若正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的所有棱长都相等$${，}$$$${{D}}$$是$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，则直线$${{A}{D}}$$与平面$${{B}_{1}{D}{C}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间投影向量与投影数量']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( 1， 2， 2 \right)， \， \， \vec{b}=\left(-2， 1， 1 \right)$$，则向量$${{b}^{⃗}}$$在向量$${{a}{⃗}}$$上的投影向量为（）
B
A.$$\left(-\frac{2} {9}，-\frac{4} {9}，-\frac{4} {9} \right)$$
B.$$\left( \frac{2} {9}， \frac{4} {9}， \frac{4} {9} \right)$$
C.$$\left(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3}， \frac{1} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}，-\frac{1} {3}，-\frac{1} {3} \right)$$
9、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1，-1， 0 )$$，$$\vec{b}=( 3，-2， 1 )$$，则$$| \vec{a}+\vec{b} |=( \textit{} )$$
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${\sqrt {{2}{6}}}$$
1. 解析：首先计算向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 的点积及模长： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \times 0 + 1 \times y + 1 \times 1 = y + 1 $$ $$ |\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} $$ $$ |\boldsymbol{b}| = \sqrt{0^2 + y^2 + 1^2} = \sqrt{y^2 + 1} $$ 则夹角的余弦值为： $$ \cos \theta = \frac{y + 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{y^2 + 1}} $$ 求其最大值，对函数 $$f(y) = \frac{y + 1}{\sqrt{y^2 + 1}}$$ 求导并令导数为零： $$ f'(y) = \frac{\sqrt{y^2 + 1} - (y + 1) \cdot \frac{y}{\sqrt{y^2 + 1}}}{y^2 + 1} = 0 $$ 解得 $$y = 1$$，代入得： $$ \cos \theta_{\text{max}} = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$ 答案为 D。
2. 解析：三点共线等价于向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{AC}$$ 共线。计算向量： $$ \overrightarrow{AB} = (2 - 4, -5 - 1, 1 - 3) = (-2, -6, -2) $$ $$ \overrightarrow{AC} = (m - 4, 4 - 1, 4 - 3) = (m - 4, 3, 1) $$ 共线条件为存在 $$\lambda$$ 使得 $$\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$$，即： $$ m - 4 = -2\lambda, \quad 3 = -6\lambda, \quad 1 = -2\lambda $$ 解得 $$\lambda = -\frac{1}{2}$$，代入得 $$m = 5$$。答案为 C。
3. 解析：三点共线等价于向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{AC}$$ 共线。计算向量： $$ \overrightarrow{AB} = (0 - (-1), 3 - 1, 5 - 2) = (1, 2, 3) $$ $$ \overrightarrow{AC} = (1 - (-1), 5 - 1, 4 - k - 2) = (2, 4, 2 - k) $$ 共线条件为存在 $$\lambda$$ 使得 $$\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$$，即： $$ 2 = \lambda \times 1, \quad 4 = \lambda \times 2, \quad 2 - k = \lambda \times 3 $$ 解得 $$\lambda = 2$$，代入得 $$k = -4$$。答案为 D。
4. 解析：直接计算 $$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$： $$ 2\overrightarrow{a} = (2, 0, -2) $$ $$ 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2 + 2, 0 + 1, -2 + 1) = (4, 1, -1) $$ 答案为 A。
5. 解析：首先求中点 $$P$$ 的坐标： $$ P = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 2}{2}, \frac{-2 + 8}{2} \right) = (2, 1.5, 3) $$ 点 $$C$$ 的坐标为 $$(0, 1, 0)$$，距离为： $$ \sqrt{(2 - 0)^2 + (1.5 - 1)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4 + 0.25 + 9} = \sqrt{13.25} = \frac{\sqrt{53}}{2} $$ 答案为 A。
6. 解析：设棱长为 2，建立坐标系，计算直线 $$AD$$ 的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式求得正弦值为 $$\frac{4}{5}$$。答案为 A。
7. 解析：投影向量的计算公式为： $$ \text{proj}_{\boldsymbol{a}} \boldsymbol{b} = \left( \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^2} \right) \boldsymbol{a} $$ 计算得： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \times (-2) + 2 \times 1 + 2 \times 1 = 2 $$ $$ |\boldsymbol{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9 $$ 因此投影向量为： $$ \frac{2}{9} (1, 2, 2) = \left( \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9} \right) $$ 答案为 B。
9. 解析：计算向量 $$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$$ 的模： $$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (1 + 3, -1 + (-2), 0 + 1) = (4, -3, 1) $$ $$ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{26} $$ 答案为 D。
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