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正确率60.0%向量$${{a}^{→}{=}{{(}{1}{，}{2}{，}{x}{)}}{，}}$$$${{b}^{→}{=}{{(}{2}{，}{y}{，}{−}{1}{)}}{，}}$$若$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{\sqrt {5}}}$$，且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{x}{+}{y}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.-2
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
2、['等差中项'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '等差数列的性质']正确率40.0%已知向量$${{m}{⃗}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{y}{)}{与{向}{量}}{{n}{⃗}}{=}{(}{x}{，}{−}{2}{，}{1}{)}}$$垂直，且$${{x}{，}{\sqrt {3}}{，}{y}}$$成等比数列，则正实数$${{x}{，}{y}}$$的等差中项为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{±}{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率80.0%已知$${{a}{=}{(}{2}{，}{3}{，}{−}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{t}{，}{t}{+}{1}{，}{t}{−}{1}{)}{，}}$$若$${{a}{⊥}{b}{，}}$$则$${{t}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%若向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{−}{2}{)}{，}{e}{/}{/}{a}}$$且$${{|}{e}{|}{=}{1}{，}}$$则$${{e}{=}}$$（）
A
A.$$\left( \frac{2} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \right.-\frac{2} {3} )$$或$$\left(-\frac{2} {3}， ~-\frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3} \right)$$
B.$$\left( \frac{2} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \right.-\frac{2} {3} )$$
C.$$\left(-\frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}， ~-\frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3} \right)$$或$$\left(-\frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3}， ~-\frac{2} {3} \right)$$
5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%若平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量分别为$$\vec{a}=\left( \frac{1} {2}，-1， 3 \right)， \vec{b}=(-1， 2，-6 )$$，则（）
D
A.$${{α}{/}{/}{β}}$$
B.$${{α}}$$与$${{β}}$$相交但不垂直
C.$${{α}{⊥}{β}}$$
D.$${{α}{/}{/}{β}}$$或$${{α}}$$与$${{β}}$$重合
6、['空间直角坐标系'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{E}{，}{F}}$$分别在$${{A}_{1}{D}{，}{A}{C}}$$上，且$$A_{1} E=\frac{2} {3} A_{1} D， \， \， \， A F=\frac{1} {3} A C，$$则（）
B
A.$${{E}{F}}$$至多与$${{A}_{1}{D}{，}{A}{C}}$$中的一条垂直
B.$${{E}{F}{⊥}{{A}_{1}}{D}}$$且$${{E}{F}{⊥}{A}{C}}$$
C.$${{E}{F}}$$与$${{B}{{D}_{1}}}$$相交
D.$${{E}{F}}$$与$${{B}{{D}_{1}}}$$异面
7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '一元二次方程的解集'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%若$${{△}{{A}{B}{C}}}$$中，$${{∠}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}{A}{(}{1}{，}{2}{，}{-}{3}{k}{)}{，}{B}{{(}{-}}{2}{，}{1}{，}{0}{)}{，}{C}{(}{4}{，}{0}{，}{-}{2}{k}{)}}$$，则$${{k}}$$的值为（）
D
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{-}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{\}{p}{m}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率80.0%已知$${{a}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{b}{=}{(}{−}{4}{，}{2}{，}{x}{)}{，}}$$且$${{a}{/}{/}{b}{，}}$$则$${{x}{=}}$$（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{−}{4}}$$
D.$${{−}{5}}$$
10、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直']正确率60.0%已知空间向量$${{a}{=}{{(}{1}{，}{−}{2}{，}{3}{)}}{，}{b}{=}{{(}{x}{，}{4}{，}{z}{)}}}$$，若$${{a}{/}{/}{b}}$$，则$${{x}{+}{2}{z}{=}}$$
C
A.$${{−}{7}}$$
B.$${{±}{7}}$$
C.$${{−}{{1}{4}}}$$
D.$${{±}{{1}{4}}}$$
1. 已知向量$${\vec{a}=(1,2,x)}$$，$${\vec{b}=(2,y,-1)}$$，且$${|\vec{a}|=\sqrt{5}}$$，$${\vec{a} \perp \vec{b}}$$。求$${x+y}$$的值。
解析：
1. 由$${|\vec{a}|=\sqrt{5}}$$得：
$${1^2 + 2^2 + x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0}$$
2. 由$${\vec{a} \perp \vec{b}}$$得点积为0：
$${1 \cdot 2 + 2 \cdot y + x \cdot (-1) = 0 \Rightarrow 2 + 2y - 0 = 0 \Rightarrow y = -1}$$
3. 因此$${x + y = 0 + (-1) = -1}$$，答案为$${C}$$。
2. 已知向量$${\vec{m}=(1,2,y)}$$与$${\vec{n}=(x,-2,1)}$$垂直，且$${x, \sqrt{3}, y}$$成等比数列，求正实数$${x, y}$$的等差中项。
解析：
1. 由$${\vec{m} \perp \vec{n}}$$得点积为0：
$${1 \cdot x + 2 \cdot (-2) + y \cdot 1 = 0 \Rightarrow x - 4 + y = 0 \Rightarrow x + y = 4}$$
2. 由$${x, \sqrt{3}, y}$$成等比数列得：
$${(\sqrt{3})^2 = x \cdot y \Rightarrow xy = 3}$$
3. 解方程组$${x + y = 4}$$和$${xy = 3}$$得正实数解$${x = 1, y = 3}$$或$${x = 3, y = 1}$$。
4. 等差中项为$${\frac{x + y}{2} = \frac{4}{2} = 2}$$，答案为$${B}$$。
3. 已知$${a=(2,3,-1)}$$，$${b=(t,t+1,t-1)}$$，若$${a \perp b}$$，求$${t}$$的值。
解析：
1. 由$${a \perp b}$$得点积为0：
$${2 \cdot t + 3 \cdot (t+1) + (-1) \cdot (t-1) = 0 \Rightarrow 2t + 3t + 3 - t + 1 = 0 \Rightarrow 4t + 4 = 0 \Rightarrow t = -1}$$
2. 答案为$${A}$$。
4. 若向量$${a=(2,1,-2)}$$，$${e \parallel a}$$且$${|e|=1}$$，求$${e}$$。
解析：
1. 设$${e = k \cdot a = (2k, k, -2k)}$$，由$${|e|=1}$$得：
$${\sqrt{(2k)^2 + k^2 + (-2k)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{9k^2} = 1 \Rightarrow |3k| = 1 \Rightarrow k = \pm \frac{1}{3}}$$
2. 因此$${e = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)}$$或$${e = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)}$$，答案为$${A}$$。
5. 若平面$${\alpha, \beta}$$的法向量分别为$${\vec{a}=\left(\frac{1}{2},-1,3\right)}$$，$${\vec{b}=(-1,2,-6)}$$，判断两平面关系。
解析：
1. 检查$${\vec{a}}$$与$${\vec{b}}$$是否平行：
$${\vec{b} = -2 \cdot \vec{a}}$$，因此两法向量平行，平面$${\alpha \parallel \beta}$$或重合，答案为$${D}$$。
6. 在正方体$${ABCD-A_1B_1C_1D_1}$$中，$${E, F}$$分别在$${A_1D, AC}$$上，且$${A_1E = \frac{2}{3}A_1D}$$，$${AF = \frac{1}{3}AC}$$，判断$${EF}$$与其他线段的关系。
解析：
1. 建立坐标系，设正方体边长为3，计算$${E, F}$$坐标。
2. 验证$${EF}$$与$${A_1D, AC}$$的点积均为0，说明$${EF}$$与两者均垂直，答案为$${B}$$。
7. 在$${\triangle ABC}$$中，$${\angle C = 90^\circ}$$，点$${A(1,2,-3k)}$$，$${B(-2,1,0)}$$，$${C(4,0,-2k)}$$，求$${k}$$的值。
解析：
1. 向量$${\vec{CA} = (-3,2,-k)}$$，$${\vec{CB} = (-6,1,2k)}$$。
2. 由$${\angle C = 90^\circ}$$得点积为0：
$${(-3)(-6) + 2 \cdot 1 + (-k)(2k) = 0 \Rightarrow 18 + 2 - 2k^2 = 0 \Rightarrow 2k^2 = 20 \Rightarrow k = \pm \sqrt{10}}$$
3. 答案为$${D}$$。
9. 已知$${a=(2,-1,2)}$$，$${b=(-4,2,x)}$$，且$${a \parallel b}$$，求$${x}$$的值。
解析：
1. 由$${a \parallel b}$$得存在$${k}$$使得$${b = k \cdot a}$$：
$${-4 = 2k \Rightarrow k = -2}$$
$${2 = -1 \cdot k \Rightarrow k = -2}$$
$${x = 2 \cdot k = -4}$$
2. 答案为$${C}$$。
10. 已知空间向量$${a=(1,-2,3)}$$，$${b=(x,4,z)}$$，若$${a \parallel b}$$，求$${x + 2z}$$的值。
解析：
1. 由$${a \parallel b}$$得存在$${k}$$使得$${b = k \cdot a}$$：
$${x = k \cdot 1 = k}$$
$${4 = -2 \cdot k \Rightarrow k = -2}$$
$${z = 3 \cdot k = -6}$$
2. 因此$${x + 2z = -2 + 2 \cdot (-6) = -14}$$，答案为$${C}$$。