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正确率60.0%从点$$P ( 1， ~ 2， ~ 3 )$$出发，沿着向量$$\boldsymbol{v}=(-4， ~-1， ~ 8 )$$的方向取点$${{Q}{，}}$$使$$P Q=1 8，$$则$${{Q}}$$点的坐标为（）
A
A.$$(-7， ~ 0， ~ 1 9 )$$
B.$$( 9， ~ 4， ~-1 3 )$$
C.$$(-7， ~ 0， ~ 1 9 )$$或$$( 9， ~ 4， ~-1 3 )$$
D.$$(-1， ~-2， ~ 3 )$$或$$( 1， ~-2， ~-3 )$$
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '向量的模'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， x ) \，，$$$$\vec{b}=( 2， y，-1 ) \，，$$若$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{5}$$，且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{x}{+}{y}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.-2
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
3、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '向量的模']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， n， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-2， 1， 2 ).$$若$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{b}^{→}}$$垂直，则$${{|}{{a}^{→}}{|}}$$等于 （）
D
A.$$\frac{5 \sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{2 1}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3 7}} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{5}} {2}$$
4、['空间向量运算的坐标表示']正确率40.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \ 1， \ 1 )， \ b=( 0， \ y， \ 1 ) ( 0 \leq y \leq1 ).$$则$${{c}{o}{s}}$$〈$${{a}{，}{b}}$$〉的最大值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
5、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%若$$\overrightarrow{a}=( 2， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=(-3， 1，-1 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 1， 1， 0 )$$，则$$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}+2 \overrightarrow{c}=( \it{\phi} )$$
D
A.$$( 2，-4， 1 )$$
B.$$(-1 0， 0，-3 )$$
C.$$(-2， 4，-1 )$$
D.$$( 1 0， 0， 3 )$$
6、['空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{P}{、}{Q}}$$分别为面$${{A}{B}{C}{D}}$$和面$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$的中心，则直线$${{P}{{B}_{1}}}$$和$${{Q}{{C}_{1}}}$$所成角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 2， 5 )， \， \overrightarrow{b}$$$$= ( 1， 5，-1 )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b} )=$$（）
C
A.$$( 0， 3 4， 1 0 )$$
B.$$(-3， 1 9， 7 )$$
C.$${{4}{4}}$$
D.$${{2}{3}}$$
8、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \mathbf{2}， \boldsymbol{x} )， \boldsymbol{b}=( \mathbf{2}， \boldsymbol{y}， \mathbf{-1} )$$，若$$| \boldsymbol{a} |=\sqrt{5}$$，且$${{a}{⊥}{b}}$$，则$${{x}{+}{y}}$$的值为（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
9、['空间向量运算的坐标表示'， '空间投影向量与投影数量']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( 1， 2， 2 \right)， \， \， \vec{b}=\left(-2， 1， 1 \right)$$，则向量$${{b}^{⃗}}$$在向量$${{a}{⃗}}$$上的投影向量为（）
B
A.$$\left(-\frac{2} {9}，-\frac{4} {9}，-\frac{4} {9} \right)$$
B.$$\left( \frac{2} {9}， \frac{4} {9}， \frac{4} {9} \right)$$
C.$$\left(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3}， \frac{1} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}，-\frac{1} {3}，-\frac{1} {3} \right)$$
1. 解析：
向量 $$\boldsymbol{v}=(-4, -1, 8)$$ 的长度为 $$|\boldsymbol{v}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = 9$$。
单位向量为 $$\boldsymbol{u} = \frac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|} = \left(-\frac{4}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{8}{9}\right)$$。
从点 $$P(1, 2, 3)$$ 出发，沿 $$\boldsymbol{v}$$ 方向取点 $$Q$$，距离为 18，有两种可能：
$$Q = P \pm 18 \boldsymbol{u}$$。
计算两种情况：
1. $$Q = (1, 2, 3) + 18 \left(-\frac{4}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{8}{9}\right) = (1 - 8, 2 - 2, 3 + 16) = (-7, 0, 19)$$。
2. $$Q = (1, 2, 3) - 18 \left(-\frac{4}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{8}{9}\right) = (1 + 8, 2 + 2, 3 - 16) = (9, 4, -13)$$。
因此，正确答案为 C。
2. 解析：
根据题意：
1. $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + x^2} = \sqrt{5} \Rightarrow 1 + 4 + x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$。
2. $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。
计算点积：$$1 \times 2 + 2 \times y + x \times (-1) = 2 + 2y - 0 = 0 \Rightarrow y = -1$$。
因此，$$x + y = 0 + (-1) = -1$$，正确答案为 C。
3. 解析：
首先计算 $$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$：
$$2\overrightarrow{a} = (2, 2n, 4)$$，$$\overrightarrow{b} = (-2, 1, 2)$$，
$$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - (-2), 2n - 1, 4 - 2) = (4, 2n - 1, 2)$$。
由题意，$$(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{b}$$，故点积为 0：
$$4 \times (-2) + (2n - 1) \times 1 + 2 \times 2 = -8 + 2n - 1 + 4 = 0 \Rightarrow 2n - 5 = 0 \Rightarrow n = \frac{5}{2}$$。
因此，$$\overrightarrow{a} = (1, \frac{5}{2}, 2)$$，其长度为 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + \frac{25}{4} + 4 = \sqrt{\frac{37}{4}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$$。
正确答案为 C。
4. 解析：
计算 $$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$$：
$$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|} = \frac{1 \times 0 + 1 \times y + 1 \times 1}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + y^2 + 1^2}} = \frac{y + 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{y^2 + 1}}$$。
为求最大值，对 $$f(y) = \frac{y + 1}{\sqrt{y^2 + 1}}$$ 求导并令导数为 0：
$$f'(y) = \frac{(1)(\sqrt{y^2 + 1}) - (y + 1)\left(\frac{y}{\sqrt{y^2 + 1}}\right)}{y^2 + 1} = \frac{y^2 + 1 - y(y + 1)}{(y^2 + 1)^{3/2}} = \frac{1 - y}{(y^2 + 1)^{3/2}}$$。
令 $$f'(y) = 0 \Rightarrow y = 1$$。
当 $$y = 1$$ 时，$$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
验证 $$y = 0$$ 时，$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，显然 $$\frac{\sqrt{6}}{3} > \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
因此，最大值为 $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$，正确答案为 D。
5. 解析：
计算 $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$$：
$$\overrightarrow{a} = (2, 0, 1)$$，$$-2\overrightarrow{b} = (6, -2, 2)$$，$$2\overrightarrow{c} = (2, 2, 0)$$，
$$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = (2 + 6 + 2, 0 - 2 + 2, 1 + 2 + 0) = (10, 0, 3)$$。
正确答案为 D。
6. 解析：
设正方体边长为 2，建立坐标系：
$$A(0, 0, 0)$$，$$B(2, 0, 0)$$，$$D(0, 2, 0)$$，$$A_1(0, 0, 2)$$，$$C_1(2, 2, 2)$$，$$B_1(2, 0, 2)$$。
$$P$$ 为面 $$ABCD$$ 中心，坐标为 $$(1, 1, 0)$$；$$Q$$ 为面 $$ADD_1A_1$$ 中心，坐标为 $$(0, 1, 1)$$。
向量 $$\overrightarrow{PB_1} = (2 - 1, 0 - 1, 2 - 0) = (1, -1, 2)$$；
向量 $$\overrightarrow{QC_1} = (2 - 0, 2 - 1, 2 - 1) = (2, 1, 1)$$。
计算点积：$$\overrightarrow{PB_1} \cdot \overrightarrow{QC_1} = 1 \times 2 + (-1) \times 1 + 2 \times 1 = 2 - 1 + 2 = 3$$。
计算模长：$$|\overrightarrow{PB_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$$，$$|\overrightarrow{QC_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$。
因此，$$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$，$$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
正确答案为 B。
7. 解析：
计算 $$\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$$：
$$\overrightarrow{a} = (-3, 2, 5)$$，$$3\overrightarrow{b} = (3, 15, -3)$$，
$$\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (-3 + 3, 2 + 15, 5 - 3) = (0, 17, 2)$$。
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) = (-3) \times 0 + 2 \times 17 + 5 \times 2 = 0 + 34 + 10 = 44$$。
正确答案为 C。
8. 解析：
与第 2 题相同，解析过程一致，答案为 C。
9. 解析：
向量 $$\vec{a} = (1, 2, 2)$$，$$\vec{b} = (-2, 1, 1)$$。
计算投影向量：
$$\text{投影向量} = \left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$$。
点积：$$\vec{b} \cdot \vec{a} = (-2) \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 2 = -2 + 2 + 2 = 2$$。
模长平方：$$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$$。
因此，投影向量为 $$\frac{2}{9} (1, 2, 2) = \left(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9}\right)$$。
正确答案为 B。