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正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}=( 0， 1， 2 )$$，则$$| \overrightarrow{A B} |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{5}}$$
2、['空间直角坐标系'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt{7}} {3}$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理']正确率60.0%以下四组向量中在同一平面的是（）
B
A.$$\mathbf{a}_{1}=( 1， \ 1， \ 0 )， \ \mathbf{a}_{2}=( 0， \ 1， \ 1 )， \ \mathbf{a}_{3}=( 1， \ 0， \ 1 )$$
B.$$\boldsymbol{b}_{1}=( 3， \ 0， \ 0 )， \ b_{2}=( 1， \ 1， \ 2 )， \ b_{3}=( 2， \ 2， \ 4 )$$
C.$$\mathbf{c_{1}}=( 1， \ 2， \ 3 )， \ \mathbf{c_{2}}=( 1， \ 3， \ 2 )， \ \mathbf{c_{3}}=( 2， \ 3， \ 1 )$$
D.$$\boldsymbol{d}_{1}=( 1， \ 0， \ 0 )， \ \boldsymbol{d}_{2}=( 0， \ 0， \ 2 )， \ \boldsymbol{d}_{3}=( 0， \ 3， \ 0 )$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{3}， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=( k， 2， 0 )$$，若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角为$$\frac{2 \pi} {3}$$，则$${{k}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${－{1}}$$
D.$${{1}}$$
5、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%若正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的所有棱长都相等$${，}$$$${{D}}$$是$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，则直线$${{A}{D}}$$与平面$${{B}_{1}{D}{C}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
6、['空间直角坐标系'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%svg异常
A
A.$$B_{1} E=E B$$
B.$$B_{1} E=2 E B$$
C.$$B_{1} E={\frac{1} {2}} E B$$
D.$${{E}}$$与$${{B}}$$重合
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%若长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=1， \， \， B C=C C_{1}=\sqrt{2}， \， \， \， E， \， \， F， \， \， \， G$$分别为$$A D， ~ A B， ~ C_{1} D_{1}$$上的点，$$A E=E D， \， \， \， A F=F B， \， \， \， \overrightarrow{D_{1} G}=\lambda\overrightarrow{G C_{1}} ( \lambda\geqslant4 )$$分别记二面角$$G-E F-D_{1}， \， \， \， G-E F-C， \， \， \， G-F B-C$$的平面角为$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma，$$则
C
A.$$\gamma< \beta< \alpha$$
B.$$\beta< \gamma< \alpha$$
C.$$\alpha< \gamma< \beta$$
D.与$${{λ}}$$的值有关
8、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1， 3 )，$$向量$$\vec{b}=( 4，-2， k )，$$且满足$$( 3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \bot\overrightarrow{a}$$，则$${{k}}$$等于
C
A.$${{6}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$$\frac{3 2} {3}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{A B}=( 1，-1， 0 ) \，， \， \， \， C \left( 0， 1，-2 \right)，$$若$$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{A B}，$$则点$${{D}}$$的坐标为（）
D
A.$$(-2， 3，-2 )$$
B.$$( 2，-3， 2 )$$
C.$$(-2， 1， 2 )$$
D.$$( 2，-1，-2 )$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量基本定理的应用'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，$$\overrightarrow{O A}$$在基底$$\left\{\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c} \right\}$$下的坐标为$$( 2， 1， 3 )$$，其中$$\overrightarrow{a}=4 \overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}，$$$$\vec{b}=2 \vec{j}+3 \vec{k}，$$$$\overrightarrow{c}=3 \overrightarrow{k}-\overrightarrow{j}$$，则向量$$\overrightarrow{O A}$$在基底$$\left\{\overrightarrow{i}， \overrightarrow{j}， \overrightarrow{k} \right\}$$下的坐标为（）
D
A.$$( 7， 3， 1 2 )$$
B.$$( 3， 7， 1 2 )$$
C.$$( 2， 4， 6 )$$
D.$$( 8， 3， 1 2 )$$
1. 向量 $$\overrightarrow{AB} = (0, 1, 2)$$ 的模长计算公式为： $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$ 因此，正确答案为 C。
3. 判断向量是否共面，需计算它们的混合积是否为 0： - A 选项： $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 1(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0 = 1 + 1 = 2 \neq 0$$ 不共面。 - B 选项： $$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 3(1 \cdot 4 - 2 \cdot 2) - 0 + 0 = 0$$ 共面。 - C 和 D 选项的混合积均不为 0。 正确答案为 B。
4. 向量夹角公式： $$\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{\sqrt{3} \cdot k + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{2 \cdot \sqrt{k^2 + 4}} = \frac{\sqrt{3}k}{2\sqrt{k^2 + 4}}$$ 解得： $$\frac{\sqrt{3}k}{2\sqrt{k^2 + 4}} = -\frac{1}{2} \Rightarrow k = -1$$ 验证后符合题意，答案为 C。
5. 建立坐标系，设棱长为 2，计算平面法向量与直线方向向量的夹角正弦： 平面 $$B_1DC$$ 的法向量为 $$\overrightarrow{n} = (1, 0, 2)$$，直线 $$AD$$ 方向向量为 $$\overrightarrow{AD} = (-1, \sqrt{3}, 1)$$。 $$\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \cdot 3 = \frac{3}{5}$$ 答案为 B。
7. 通过几何分析或坐标系计算二面角关系： 固定 $$\lambda \geq 4$$ 时，$$\alpha$$ 最大，$$\beta$$ 最小，因此 $$\beta < \gamma < \alpha$$，答案为 B。
8. 向量垂直条件为点积为零： $$3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2, -1, 9 - k)$$，与 $$\overrightarrow{a}$$ 点积： $$2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + (9 - k) \cdot 3 = 0 \Rightarrow 4 + 1 + 27 - 3k = 0 \Rightarrow k = \frac{32}{3}$$ 答案为 C。
9. 由 $$\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB} = (2, -2, 0)$$，设 $$D(x, y, z)$$，则： $$(x, y - 1, z + 2) = (2, -2, 0) \Rightarrow D(2, -1, -2)$$ 答案为 D。
10. 将基底转换到标准基底： $$\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} = 2(4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}) + (2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}) + 3(3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{j}) = 8\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} + 12\overrightarrow{k}$$ 坐标为 $$(8, 3, 12)$$，答案为 D。
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