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正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 3 )，$$$$\overrightarrow{b}=( 3， 0，-1 )，$$$$\overrightarrow{c}=\left(-\frac{1} {5}， 1，-\frac{3} {5} \right)$$给出下列等式：
①$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} |$$；
②$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )$$；
③$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}$$
④$$( \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c} )$$.
其中正确的个数是（）
D
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '向量的模']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=( 1， n， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-2， 1， 2 ).$$若$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{b}^{→}}$$垂直，则$${{|}{{a}^{→}}{|}}$$等于 （）
D
A.$$\frac{5 \sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{2 1}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3 7}} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{5}} {2}$$
3、['空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=4， \， \， B C=1， \， \， \， A A_{1}=3，$$已知向量$${{a}}$$在基底｛$$\overrightarrow{A B}， \ \overrightarrow{A D}， \ \overrightarrow{A A_{1}}$$｝下的坐标为$$( 2， ~ 1， ~-3 )$$．若分别以$$\overrightarrow{D A}， \， \， \overrightarrow{D C}， \， \， \overrightarrow{D D_{1}}$$的方向为$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴、$${{z}}$$轴的正方向建立空间直角坐标系，则$${{a}}$$的坐标为（）
D
A.$$( 2， ~ 1， ~-3 )$$
B.$$(-1， ~ 2， ~-3 )$$
C.$$( 1， ~-8， ~ 9 )$$
D.$$(-1， ~ 8， ~-9 )$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{2}， \mathbf{}-\mathbf{3}， \mathbf{1} )， \ \boldsymbol{b}=( \mathbf{2}， \ 0， \mathbf{3} )，$$则$$a \cdot( a+b )=$$（）
A
A.$${{2}{1}}$$
B.$${{−}{{2}{1}}}$$
C.$${{2}{0}}$$
D.$${{−}{{2}{0}}}$$
5、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%svg异常
C
A.$$\left( 0， \frac{1} {4}，-1 \right)$$
B.$$\left(-\frac{1} {4}， 0， 1 \right)$$
C.$$\left( 0，-\frac{1} {4}， 1 \right)$$
D.$$\left( \frac{1} {4}， \enskip0， \enskip-1 \right)$$
6、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知 $$\overrightarrow{A B}=( 1， ~ 5， ~-2 )， ~ \overrightarrow{B C}=( 3， ~ 1， ~ z )，$$若$$\overrightarrow{A B} \perp\overrightarrow{B C}， \ \overrightarrow{B P}=( x-1， \ y， \ -3 )，$$且$${{B}{P}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}}$$则实数$$x， ~ y， ~ z$$分别为（）
B
A.$${\frac{3 3} {7}}， ~-{\frac{1 5} {7}}， ~ 4$$
B.$${\frac{4 0} {7}}， ~-{\frac{1 5} {7}}， ~ 4$$
C.$${\frac{4 0} {7}}， ~-2， ~ 4$$
D.$$4， ~ {\frac{4 0} {7}}， ~-1 5$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=( 1，-1， 1 )，$$直线$${{A}{B}}$$与平面$${{α}}$$相交但不垂直，则向量$$\overrightarrow{A B}$$的坐标可以是（）
D
A.$$(-2， 2，-2 )$$
B.$$( 1， 3， 2 )$$
C.$$( 2， 1，-1 )$$
D.$$( 1， 2， 3 )$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '空间投影向量与投影数量']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( 1， 2， 2 \right)， \， \， \vec{b}=\left(-2， 1， 1 \right)$$，则向量$${{b}^{⃗}}$$在向量$${{a}{⃗}}$$上的投影向量为（）
B
A.$$\left(-\frac{2} {9}，-\frac{4} {9}，-\frac{4} {9} \right)$$
B.$$\left( \frac{2} {9}， \frac{4} {9}， \frac{4} {9} \right)$$
C.$$\left(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3}， \frac{1} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}，-\frac{1} {3}，-\frac{1} {3} \right)$$
9、['空间向量运算的坐标表示']正确率80.0%已知点$$B ~ ( \mathrm{\bf~ 2}， \mathrm{\bf~-3}， \mathrm{\bf~ 1} )$$，向量$$\overrightarrow{A B}=(-3， 5， \ 2 )$$，则点$${{A}}$$坐标是（）
D
A.$$( 1， ~ 2， ~ 3 )$$
B.$$( \ -1， \ 2， \ 3 )$$
C.$$( \mathbf{\theta}-5， \mathbf{\ 8}， \mathbf{\ 1} )$$
D.$$( \mathbf{5}， \mathbf{\tau}-\mathbf{8}， \mathbf{\tau}-1 )$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( 1， 0， 1 \right)$$，$$\vec{b}=( 2， 0，-2 )$$，若$$( k \vec{a}+\vec{b} ) \cdot( \vec{a}+k \vec{b} )=2$$，则$${{k}}$$的值等于（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
### 题目1解析首先计算各向量的和与差：
计算它们的模长：
显然不相等，故①错误。
对于②：
两者相等，故②正确。
对于③：
不相等，故③错误。
对于④：
两者均为零向量，形式上成立，但通常点积不满足结合律，故④在数学上不严谨，但题目中认为正确。
综上，正确的有②和④，共2个。
答案：$$B$$
--- ### 题目2解析已知$$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$与$$\overrightarrow{b}$$垂直，故点积为零：
解得$$n = \frac{5}{2}$$。
计算$$\overrightarrow{a}$$的模长：
答案：$$D$$
--- ### 题目3解析向量$$\overrightarrow{a}$$在基底$$\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}\}$$下的坐标为$$(2, 1, -3)$$，故：
在新的坐标系下，基底为$$\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}\}$$，注意到：
因此：
对应坐标为$$(-1, 2, -3)$$。
答案：$$B$$
--- ### 题目4解析计算$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$：
点积运算：
答案：$$A$$
--- ### 题目5解析题目不完整，无法解析。
--- ### 题目6解析由$$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$$：
解得$$z = 4$$。
由$$\overrightarrow{BP} \perp$$平面$$ABC$$，需$$\overrightarrow{BP}$$与$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{BC}$$均垂直：
解方程组：
解得$$x = \frac{40}{7}$$，$$y = -\frac{15}{7}$$。
答案：$$B$$
--- ### 题目7解析直线$$AB$$与平面$$\alpha$$相交但不垂直，故$$\overrightarrow{AB}$$与法向量$$\overrightarrow{n}$$不平行但点积不为零：
计算各选项点积：
选项A和D满足条件，但题目可能要求唯一答案，选D更典型。
答案：$$D$$
--- ### 题目8解析投影向量公式：
计算点积和模长：
投影向量：
答案：$$B$$
--- ### 题目9解析设点$$A$$坐标为$$(x, y, z)$$，则：
解得：
故$$A$$坐标为$$(5, -8, -1)$$，选项中无完全匹配，可能有误。
答案：$$D$$（最接近）
--- ### 题目10解析计算$$k\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$和$$\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$$：
点积为2：
答案：$$D$$
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