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正确率60.0%从点$${{P}{(}{1}{，}{2}{，}{3}{)}}$$出发，沿着向量$${{v}{=}{(}{−}{4}{，}{−}{1}{，}{8}{)}}$$的方向取点$${{Q}{，}}$$使$${{P}{Q}{=}{{1}{8}}{，}}$$则$${{Q}}$$点的坐标为（）
A
A.$${{(}{−}{7}{，}{0}{，}{{1}{9}}{)}}$$
B.$${{(}{9}{，}{4}{，}{−}{{1}{3}}{)}}$$
C.$${{(}{−}{7}{，}{0}{，}{{1}{9}}{)}}$$或$${{(}{9}{，}{4}{，}{−}{{1}{3}}{)}}$$
D.$${{(}{−}{1}{，}{−}{2}{，}{3}{)}}$$或$${{(}{1}{，}{−}{2}{，}{−}{3}{)}}$$
2、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{1}{)}{，}}$$作$$\overrightarrow{O A}=a， \ \overrightarrow{O B}=b，$$则以$${{O}{A}{，}{O}{B}}$$为邻边的平行四边形的面积为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{3 5}} {2}$$
B.$${\sqrt {{3}{5}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角']正确率60.0%在空间直角坐标系中$${{，}{{i}^{→}}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{0}{)}{，}{{j}^{→}}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{0}{)}{，}}$$$${{k}^{→}{=}{(}{0}{，}{0}{，}{1}{)}{，}}$$则与$${{i}^{→}{，}{{j}^{→}}{，}{{k}^{→}}}$$所成角都相等的单位向量为（）
D
A.$${{(}{1}{，}{1}{，}{1}{)}}$$
B.$$\left( \frac{1} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \frac{1} {3} \right)$$
C.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$或$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {3}， ~-\frac{\sqrt{3}} {3}， ~-\frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']正确率60.0%若向量$${{a}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{z}{)}}$$与向量$${{b}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{2}{)}}$$的夹角的余弦值为$$\frac{2} {3}，$$则$${{z}{=}}$$（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%若正三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的所有棱长都相等$${，}$$$${{D}}$$是$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，则直线$${{A}{D}}$$与平面$${{B}_{1}{D}{C}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
6、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知空间中三点$${{A}{(}{0}{，}{1}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{2}{，}{2}{，}{0}{)}{，}{C}{(}{−}{1}{，}{3}{，}{1}{)}{，}}$$则下列说法正确的是（）
D
A.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$是共线向量
B.$$\overrightarrow{A B}$$的单位向量是$${{(}{1}{，}{1}{，}{0}{)}}$$
C.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{B C}$$夹角的余弦值是$$\frac{\sqrt{5 5}} {1 1}$$
D.平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量是$${{(}{1}{，}{−}{2}{，}{5}{)}}$$
1. 首先，向量 $$v = (-4, -1, 8)$$ 的方向向量为 $$\frac{v}{|v|} = \frac{(-4, -1, 8)}{\sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 8^2}} = \frac{(-4, -1, 8)}{\sqrt{81}} = \left(-\frac{4}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{8}{9}\right)$$。点 $$Q$$ 可以表示为 $$P + 18 \cdot \frac{v}{|v|} = (1, 2, 3) + 18 \cdot \left(-\frac{4}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{8}{9}\right) = (1 - 8, 2 - 2, 3 + 16) = (-7, 0, 19)$$。或者沿着反方向 $$P - 18 \cdot \frac{v}{|v|} = (1 + 8, 2 + 2, 3 - 16) = (9, 4, -13)$$。因此，正确答案是 $$C$$。
2. 向量 $$a = (2, -1, 1)$$ 和 $$b = (1, 2, 1)$$ 的叉积为 $$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = (-3, -1, 5)$$。叉积的模长为 $$|a \times b| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{35}$$，即平行四边形的面积。因此，正确答案是 $$B$$。
3. 设单位向量为 $$u = (x, y, z)$$，则与 $$i, j, k$$ 的夹角相同，即 $$\frac{u \cdot i}{|u||i|} = \frac{u \cdot j}{|u||j|} = \frac{u \cdot k}{|u||k|}$$，化简得 $$x = y = z$$。由于 $$u$$ 是单位向量，$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$，故 $$x = y = z = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$。因此，正确答案是 $$D$$。
4. 向量 $$a = (1, 0, z)$$ 和 $$b = (2, 1, 2)$$ 的夹角余弦为 $$\frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + z \cdot 2}{\sqrt{1 + z^2} \cdot \sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2 + 2z}{3\sqrt{1 + z^2}} = \frac{2}{3}$$。解得 $$2 + 2z = 2\sqrt{1 + z^2}$$，平方后化简得 $$z^2 - 2z + 1 = 0$$，即 $$z = 1$$。因此，正确答案是 $$B$$。
5. 设正三棱柱的棱长为 2。建立坐标系，设 $$A = (0, 0, 0)$$，$$B = (2, 0, 0)$$，$$C = (1, \sqrt{3}, 0)$$，$$A_1 = (0, 0, 2)$$，$$B_1 = (2, 0, 2)$$，$$C_1 = (1, \sqrt{3}, 2)$$。$$D$$ 是 $$A_1C_1$$ 的中点，坐标为 $$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\right)$$。直线 $$AD$$ 的方向向量为 $$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\right)$$。平面 $$B_1DC$$ 的法向量为 $$B_1D \times B_1C = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \times (-1, \sqrt{3}, -2) = (-\sqrt{3}, -3, -2\sqrt{3})$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\sin \theta = \frac{|AD \cdot n|}{|AD||n|} = \frac{\left|\frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-3) + 2 \cdot (-2\sqrt{3})\right|}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} \cdot \sqrt{3 + 9 + 12}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{24}} = \frac{4}{5}$$。因此，正确答案是 $$A$$。
6. 选项分析：
- A: $$\overrightarrow{AB} = (2, 1, 0)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-1, 2, 1)$$，显然不成比例，故错误。
- B: $$\overrightarrow{AB}$$ 的单位向量为 $$\frac{(2, 1, 0)}{\sqrt{5}}$$，不是 $$(1, 1, 0)$$，故错误。
- C: $$\overrightarrow{AB} = (2, 1, 0)$$，$$\overrightarrow{BC} = (-3, 1, 1)$$，夹角余弦为 $$\frac{-6 + 1 + 0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-5}{\sqrt{55}}$$，与题目不符，故错误。
- D: 平面 $$ABC$$ 的法向量可以通过 $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, -2, 5)$$ 得到，验证 $$(1, -2, 5) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$ 且 $$(1, -2, 5) \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，故正确。