空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直-空间向量及其运算的坐标表示知识点考前基础自测题解析-上海市等高一数学选择必修,平均正确率68.0%

2、解析：

已知向量 $$a = (1, 1, 0)$$，$$b = (-1, 0, -2)$$，且 $$ka + b$$ 与 $$2a - b$$ 互相垂直。两向量垂直的条件是它们的点积为零。

计算 $$ka + b$$ 和 $$2a - b$$：

$$ka + b = k(1, 1, 0) + (-1, 0, -2) = (k - 1, k, -2)$$

$$2a - b = 2(1, 1, 0) - (-1, 0, -2) = (3, 2, 2)$$

点积为零：

$$(k - 1) \times 3 + k \times 2 + (-2) \times 2 = 0$$

化简得：

$$3k - 3 + 2k - 4 = 0$$

$$5k - 7 = 0$$

解得：

$$k = \frac{7}{5}$$

答案为 D。

3、解析：

已知向量 $$a = (-2, 1, 2)$$，$$b = (x, -2, -4)$$，且 $$a \parallel b$$。两向量平行的条件是它们的对应分量成比例。

设比例系数为 $$k$$，则：

$$\frac{-2}{x} = \frac{1}{-2} = \frac{2}{-4}$$

解得：

$$\frac{1}{-2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$

所以：

$$\frac{-2}{x} = -\frac{1}{2}$$

解得：

$$x = 4$$

答案为 D。

4、解析：

直线 $$l$$ 的方向向量为 $$a = (-2, 0, 1)$$，平面 $$α$$ 的法向量为 $$b = (2, 0, 4)$$。

判断直线与平面的关系：

1. 若方向向量与法向量平行，则直线与平面垂直。

2. 若方向向量与法向量垂直，则直线与平面平行或在平面内。

3. 否则，直线与平面相交但不垂直。

计算点积：

$$a \cdot b = (-2) \times 2 + 0 \times 0 + 1 \times 4 = -4 + 0 + 4 = 0$$

点积为零，说明 $$a$$ 与 $$b$$ 垂直。又因为点 $$P$$ 不在平面 $$α$$ 内，所以直线 $$l$$ 与平面 $$α$$ 平行。

答案为 B。

5、解析：

平面 $$α$$ 的法向量为 $$(1, -2, λ)$$，平面 $$β$$ 的法向量为 $$(2, μ, 4)$$，且 $$α \parallel β$$。

两平面平行的条件是它们的法向量平行，即对应分量成比例：

$$\frac{1}{2} = \frac{-2}{μ} = \frac{λ}{4}$$

解得：

$$\frac{1}{2} = \frac{-2}{μ} \Rightarrow μ = -4$$

$$\frac{1}{2} = \frac{λ}{4} \Rightarrow λ = 2$$

所以：

$$λ + μ = 2 + (-4) = -2$$

答案为 C。

6、解析：

已知点 $$A(1, -1, 2)$$，$$B(5, -6, 2)$$，$$C(1, 3, -1)$$，求 $$AC$$ 边上的高 $$BD$$。

1. 计算向量 $$\overrightarrow{AC}$$ 和 $$\overrightarrow{AB}$$：

$$\overrightarrow{AC} = C - A = (0, 4, -3)$$

$$\overrightarrow{AB} = B - A = (4, -5, 0)$$

2. 高 $$BD$$ 的长度等于 $$\overrightarrow{AB}$$ 在 $$\overrightarrow{AC}$$ 上的投影的垂直分量：

先计算 $$\overrightarrow{AB}$$ 在 $$\overrightarrow{AC}$$ 上的投影向量：

$$\text{投影长度} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{4 \times 0 + (-5) \times 4 + 0 \times (-3)}{\sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2}} = \frac{-20}{5} = -4$$

投影向量为：

$$\text{投影向量} = \left(\frac{-4}{5}\right) \times (0, 4, -3) = \left(0, -\frac{16}{5}, \frac{12}{5}\right)$$

垂直分量为：

$$\overrightarrow{AB} - \text{投影向量} = \left(4, -5 + \frac{16}{5}, 0 - \frac{12}{5}\right) = \left(4, -\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$$

3. 计算垂直分量的长度：

$$|\text{垂直分量}| = \sqrt{4^2 + \left(-\frac{9}{5}\right)^2 + \left(-\frac{12}{5}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{81}{25} + \frac{144}{25}} = \sqrt{16 + \frac{225}{25}} = \sqrt{16 + 9} = 5$$

答案为 A。

8、解析：

已知点 $$A(0, 1, 0)$$，$$B(2, 2, 0)$$，$$C(-1, 3, 1)$$。

A. 计算 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$：

$$\overrightarrow{AB} = (2, 1, 0)$$

$$\overrightarrow{AC} = (-1, 2, 1)$$

显然不成比例，故不共线。

B. $$\overrightarrow{AB}$$ 的单位向量为 $$\frac{(2, 1, 0)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)$$，不是 $$(1, 1, 0)$$。

C. 计算 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{BC}$$ 的夹角余弦：

$$\overrightarrow{BC} = (-3, 1, 1)$$

点积：$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times (-3) + 1 \times 1 + 0 \times 1 = -6 + 1 + 0 = -5$$

模长：$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5}$$，$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{11}$$

余弦值：$$\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{5} \times \sqrt{11}} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$$，与题目不符。

D. 平面 $$ABC$$ 的法向量可以通过 $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$ 计算：

叉积：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 \times 1 - 0 \times 2, 0 \times (-1) - 2 \times 1, 2 \times 2 - 1 \times (-1)) = (1, -2, 5)$$

与题目一致，故正确。

答案为 D。

9、解析：

直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 的方向向量分别为 $$m = (2, -1, -1)$$ 和 $$n = (1, 1, 1)$$。

计算点积：

$$m \cdot n = 2 \times 1 + (-1) \times 1 + (-1) \times 1 = 2 - 1 - 1 = 0$$

点积为零，说明两向量垂直，因此两条直线垂直。

答案为 B。

10、解析：

向量 $$a = (0, 2, 1)$$，$$b = (-1, 1, -2)$$。

计算点积：

$$a \cdot b = 0 \times (-1) + 2 \times 1 + 1 \times (-2) = 0 + 2 - 2 = 0$$

点积为零，说明两向量垂直，夹角为 $$90^\circ$$。

答案为 C。