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正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， 2， 3 )，$$$$\overrightarrow{b}=( 3， 0，-1 )，$$$$\overrightarrow{c}=\left(-\frac{1} {5}， 1，-\frac{3} {5} \right)$$给出下列等式：
①$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} |$$；
②$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )$$；
③$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}$$
④$$( \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c} )$$.
其中正确的个数是（）
D
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
2、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的夹角']正确率60.0%在空间直角坐标系中$$\overrightarrow{i}=( 1， \ 0， \ 0 )， \overrightarrow{j}=( 0， \ 1， \ 0 )，$$$$\vec{k}=( 0， ~ 0， ~ 1 )，$$则与$$\overrightarrow{i}， \overrightarrow{j}， \overrightarrow{k}$$所成角都相等的单位向量为（）
D
A.$$( 1， ~ 1， ~ 1 )$$
B.$$\left( \frac{1} {3}， \ \frac{1} {3}， \ \frac{1} {3} \right)$$
C.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3}， \， \， \， \frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$或$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {3}， ~-\frac{\sqrt{3}} {3}， ~-\frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知$$\boldsymbol{a}=(-3， 2， 5 )， \boldsymbol{b}=( 1， \boldsymbol{x}， \boldsymbol{-1} )$$，且$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=2$$，则$${{x}}$$的值是（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
4、['空间直角坐标系'， '立体几何中的探索问题'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%设动点$${{P}}$$是棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的体对角线$${{B}{{D}_{1}}}$$上一点，记$$\frac{D_{1} P} {D_{1} B}=\lambda，$$当$${{∠}{A}{P}{C}}$$为钝角时$${，{λ}}$$的取值范围为（）
B
A.$$( 0， \ 1 )$$
B.$$\left( \frac{1} {3}， \， 1 \right)$$
C.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {3} \right)$$
D.$$( 1， ~ 3 )$$
5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%若$$\overrightarrow{a}=( \lambda+1， \ 0， \ 2 \lambda)， \ \overrightarrow{b}=( 6， \ 2 \mu-1， \ 2 )，$$且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${{λ}}$$与$${{μ}}$$的值分别为（）
A
A.$$\frac{1} {5}， ~ \frac{1} {2}$$
B.$${{5}{，}{2}}$$
C.$$- \frac{1} {5}， ~-\frac{1} {2}$$
D.$$- 5， ~-2$$
7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 0， ~ 1， ~ 1 )，$$$$b=( 1， ~-2， ~ 1 )$$.若向量$${{a}{+}{b}}$$与向量$$\mathbf{c}=(-2， ~ m， ~-4 )$$平行，则实数$${{m}}$$的值是（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{−}{{1}{0}}}$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为棱$${{A}{B}}$$的中点，$${{F}}$$是棱$${{B}{{B}_{1}}}$$上的点，且$$B F \colon~ F B_{1}=1 \colon~ 3$$，则异面直线$${{E}{F}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{1 5} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
9、['空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%在空间直角坐标系中，已知$${{A}{，}{B}}$$两点的坐标分别是$$( 1， 2， 0 )， ~ ( 2，-2， 1 )$$，向量$$\overrightarrow{A B}$$为（）
A
A.$$( 1，-4， 1 )$$
B.$$( 1， 0， 1 )$$
C.$$(-1， 4，-1 )$$
D.$$( 3， 0， 1 )$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%在长方体$$\mathrm{A B} C D-\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=B C=2， \mathrm{~ \ A A_{1} ~=~ 1 ~}$$，则$${{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{B}{{B}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$所成角的正弦值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt{6}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{6}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
1. 已知$$\overrightarrow{a}=(1,2,3)$$, $$\overrightarrow{b}=(3,0,-1)$$, $$\overrightarrow{c}=\left(-\frac{1}{5},1,-\frac{3}{5}\right)$$
① 计算$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(1+3-\frac{1}{5},2+0+1,3-1-\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{19}{5},3,\frac{7}{5}\right)$$
$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\left(1-3+\frac{1}{5},2-0-1,3+1+\frac{3}{5}\right)=\left(-\frac{9}{5},1,\frac{23}{5}\right)$$
模长平方：$$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|^2=\frac{361}{25}+9+\frac{49}{25}=\frac{575}{25}=23$$
$$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right|^2=\frac{81}{25}+1+\frac{529}{25}=\frac{635}{25}=25.4$$
不相等，①错误
② 左边：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=(4,2,2)\cdot\left(-\frac{1}{5},1,-\frac{3}{5}\right)=-\frac{4}{5}+2-\frac{6}{5}=0$$
右边：$$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(1,2,3)\cdot\left(\frac{14}{5},1,-\frac{8}{5}\right)=\frac{14}{5}+2-\frac{24}{5}=0$$
相等，②正确
③ 左边：$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2=23$$
右边：$$\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2=14+10+\frac{35}{25}=24+\frac{7}{5}=25.4$$
不相等，③错误
④ 左边：$$(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=(1\times3+2\times0+3\times(-1))\cdot\overrightarrow{c}=0\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$
右边：$$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})$$无意义，因为$$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$是数量积，结果是一个数，不能与向量做点积
④错误
只有②正确，选A
2. 设单位向量$$\overrightarrow{v}=(x,y,z)$$，与$$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$$所成角相等
由夹角公式：$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{i}|}=\frac{x}{1}=x$$
同理：$$\cos\theta=y=z$$，且$$x^2+y^2+z^2=1$$
代入得：$$3x^2=1$$，$$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$
所以$$\overrightarrow{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$或$$\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
选D
3. 已知$$\boldsymbol{a}=(-3,2,5)$$，$$\boldsymbol{b}=(1,x,-1)$$，$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2$$
计算点积：$$-3\times1+2\times x+5\times(-1)=2$$
$$-3+2x-5=2$$，$$2x=10$$，$$x=5$$
选C
4. 建立坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$
$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$
$$BD_1$$向量：$$\overrightarrow{BD_1}=(-1,1,1)$$
设$$P=D_1+\lambda\overrightarrow{D_1B}=(0,1,1)+\lambda(1,-1,-1)=(\lambda,1-\lambda,1-\lambda)$$
$$\overrightarrow{AP}=(\lambda,1-\lambda,1-\lambda)$$，$$\overrightarrow{CP}=(\lambda-1,-\lambda,1-\lambda)$$
当$$\angle APC$$为钝角时，$$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CP}<0$$
计算：$$\lambda(\lambda-1)+(1-\lambda)(-\lambda)+(1-\lambda)^2<0$$
$$\lambda^2-\lambda-\lambda+\lambda^2+1-2\lambda+\lambda^2<0$$
$$3\lambda^2-4\lambda+1<0$$，$$(3\lambda-1)(\lambda-1)<0$$
解得：$$\frac{1}{3}<\lambda<1$$
选B
5. 已知$$\overrightarrow{a}=(\lambda+1,0,2\lambda)$$，$$\overrightarrow{b}=(6,2\mu-1,2)$$，且$$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$$
存在实数$$k$$使得：$$\lambda+1=6k$$，$$0=(2\mu-1)k$$，$$2\lambda=2k$$
由第三式：$$\lambda=k$$，代入第一式：$$\lambda+1=6\lambda$$，$$5\lambda=1$$，$$\lambda=\frac{1}{5}$$
代入第二式：$$0=(2\mu-1)\times\frac{1}{5}$$，$$2\mu-1=0$$，$$\mu=\frac{1}{2}$$
选A
7. 已知$$\boldsymbol{a}=(0,1,1)$$，$$\boldsymbol{b}=(1,-2,1)$$
$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,-1,2)$$
与$$\mathbf{c}=(-2,m,-4)$$平行，存在实数$$k$$使得：$$1=-2k$$，$$-1=mk$$，$$2=-4k$$
由第一式：$$k=-\frac{1}{2}$$，代入第二式：$$-1=m\times\left(-\frac{1}{2}\right)$$，$$m=2$$
选A
8. 建立坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$
$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$
$$E$$为$$AB$$中点：$$E(0.5,0,0)$$
$$F$$在$$BB_1$$上，$$BF:FB_1=1:3$$，$$F(1,0,0.25)$$
$$\overrightarrow{EF}=(0.5,0,0.25)$$，$$\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1)$$
夹角余弦：$$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AD_1}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{AD_1}|}=\frac{|0\times0.5+1\times0+1\times0.25|}{\sqrt{0.25+0+0.0625}\times\sqrt{0+1+1}}$$
$$=\frac{0.25}{\sqrt{0.3125}\times\sqrt{2}}=\frac{0.25}{0.559\times1.414}\approx0.316$$
$$\frac{\sqrt{10}}{10}\approx0.316$$，选A
9. 已知$$A(1,2,0)$$，$$B(2,-2,1)$$
$$\overrightarrow{AB}=(2-1,-2-2,1-0)=(1,-4,1)$$
选A
10. 建立坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$
$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(2,0,1)$$，$$C_1(2,2,1)$$，$$D_1(0,2,1)$$
$$BC_1$$向量：$$\overrightarrow{BC_1}=(0,2,1)$$
平面$$BB_1D_1D$$法向量：$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BB_1}=(-2,2,0)\times(0,0,1)$$
计算叉积：$$\overrightarrow{n}=(2\times1-0\times0,0\times0-(-2)\times1,-2\times0-2\times0)=(2,2,0)$$
取$$\overrightarrow{n}=(1,1,0)$$
设$$BC_1$$与平面夹角为$$\theta$$，则$$\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{BC_1}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC_1}||\overrightarrow{n}|}=\frac{|0\times1+2\times1+1\times0|}{\sqrt{0+4+1}\times\sqrt{1+1+0}}$$
$$=\frac{2}{\sqrt{5}\times\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$
选C